Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$=（x-z，1），$\overrightarrow$=（2，y+z），且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{y-x≥0}\\{x+y-7≤0}\\{x≥0}\end{array}\right.$，則z的最大值為（　�。�

• A． $\frac{21}{2}$
• B． 7
• C． 14
• D． 21

Answer 1

分析 由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可得目標(biāo)函數(shù)，再由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（x-z，1），$\overrightarrow$=（2，y+z），且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，
∴2×（x-z）+1×（y+z）=2x-2z+y+z=0，
即z=2x+y．
由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{y-x≥0}\\{x+y-7≤0}\\{x≥0}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y-x=0}\\{x+y-7=0}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{7}{2}，\frac{7}{2}$），
化目標(biāo)函數(shù)z=2x+y為y=-2x+z，
由圖可知，當(dāng)直線y=-2x+z過A時(shí)，直線在y軸上的截距最大，
z有最大值為$2×\frac{7}{2}+\frac{7}{2}=\frac{21}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．