Question

2．某城市隨機抽取一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）的監(jiān)測數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計如表：

AQI	[0，50]	（50，100]	（100，150]	（150，200]	（200，300]	＞300
空氣質(zhì)量	優(yōu)	良	輕度污染	中度污染	重度污染	嚴(yán)重污染
天數(shù)	6	14	18	27	20	15

（1）若空氣質(zhì)量為嚴(yán)重污染則企業(yè)必須放假，試估計一年中（以360天計算）企業(yè)因為空氣嚴(yán)重污染放假的天數(shù)；
（2）已知某企業(yè)每天的經(jīng)濟損失y（單位：元）與空氣質(zhì)量指數(shù)x的關(guān)系式為
y=$\left\{\begin{array}{l}{0，0≤x≤100}\\{4x-400，100＜x≤300}\\{2000，x＞300}\end{array}\right.$
1）若在本年內(nèi)隨機抽取一天，試估計這一天的經(jīng)濟損失超過400元的概率；
2）若以區(qū)間中點值計算空氣質(zhì)量指數(shù)，試估計一年中（以360天計算）企業(yè)因空氣污染原因造成的經(jīng)濟損失是多少元．

Answer 1

分析 （1）由某城市隨機抽取一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）的監(jiān)測數(shù)據(jù)結(jié)果統(tǒng)計表，知空氣質(zhì)量為嚴(yán)重污染的天數(shù)為15天，由此能估計一年中（以360天計算）企業(yè)因為空氣嚴(yán)重污染放假的天數(shù)．
（2）1）y＞400時，4x-400＞400，或x＞300，從而x＞200，由此能求出在本年內(nèi)隨機抽取一天，估計這一天的經(jīng)濟損失超過400元的概率．
2）任選一天，設(shè)該天經(jīng)濟損失為X元，則X的可能取值為0，100，300，600，2000，分別求出相應(yīng)的概率，能求出E（X），由此能求出估計一年中（以360天計算）企業(yè)因空氣污染原因造成的經(jīng)濟損失．

解答 解：（1）由某城市隨機抽取一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）的監(jiān)測數(shù)據(jù)結(jié)果統(tǒng)計表，
知空氣質(zhì)量為嚴(yán)重污染的天數(shù)為15天，
∵空氣質(zhì)量為嚴(yán)重污染則企業(yè)必須放假，
∴估計一年中（以360天計算）企業(yè)因為空氣嚴(yán)重污染放假的天數(shù)為：
360×$\frac{15}{100}$=54（天）．
（2）1）∵y=$\left\{\begin{array}{l}{0，0≤x≤100}\\{4x-400，100＜x≤300}\\{2000，x＞300}\end{array}\right.$，
∴y＞400時，4x-400＞400，或x＞300，
解得x＞200，
∵x＞200所占的頻率為p=$\frac{20+15}{100}$=0.35．
∴在本年內(nèi)隨機抽取一天，估計這一天的經(jīng)濟損失超過400元的概率為0.35．
2）任選一天，設(shè)該天經(jīng)濟損失為X元，
則X的可能取值為0，100，300，600，2000，
P（X=0）=$\frac{6+14}{100}$=0.2，
P（X=100）=$\frac{18}{100}$=0.18，
P（X=300）=$\frac{27}{100}$=0.27，
P（X=600）=$\frac{20}{100}$=0.2，
P（X=2000）=$\frac{15}{100}$=0.15，
∴E（X）=0×0.2+100×0.18+300×0.27+600×0.2+2000×0.15=519，
∴估計一年中（以360天計算）企業(yè)因空氣污染原因造成的經(jīng)濟損失是：
360E（X）=360×519=186840元．

點評 本題考查概率、離散型隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．