Question

如圖AC是圓O的直徑，B、D是圓O上兩點，AC=2BC=2CD=2，PA⊥圓O所在的平面，

BM

=

1

3

BP

．
（1）求證：CM∥平面PAD；
（2）若CM與平面PAC所成角的正弦值為

5

5

時，求AP的值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）作ME⊥AB于E，連接CE，則ME∥AP，由AC是圓O的直徑，得到∠BCE=∠ECA=30°=∠CAD，從而EC∥AD，由此能證明CM∥平面PAD． 
（Ⅱ）以A為原點，直線AB，AP分別為x，z軸建立空間坐標系，求出面PAC的法向量為

n

=（x，y，z），利用向量法能求出AP的值．

解答： 解：（Ⅰ）證明：作ME⊥AB于E，連接CE，則ME∥AP，…①
∵AC是圓O的直徑，AC=2BC=2CD=2，
∴AD⊥DC，AB⊥BC，∴∠BAC=∠CAD=30°，…（2分）
∠BCA=∠DCA=60°，AB=AD=

3

，

BM

=

1

3

BP

，∴

BE

=

1

3

BA

=

3

3

，tan∠BCE=

BE

BC

=

3

3

，
∴∠BCE=∠ECA=30°=∠CAD，∴EC∥AD，…②，…（4分）
由①②，且ME∩CE=E，
得平面MEC∥平面PAD，CM?平面MEC，CM?平面PAD，
∴CM∥平面PAD． …（6分）
（Ⅱ）解：依題意，如圖以A為原點，直線AB，AP分別為x，z軸建立空間坐標系，
設(shè)AP=a，則A（0，0，0），B（

3

，0，0），C（

3

，1，0），P（0，0，a），D（

3

2

，

3

2

，0），
設(shè)面PAC的法向量為

n

=（x，y，z），設(shè)CM與平面PAC所成角為θ，
，
設(shè)x=

3

，∴

n

=（

3

，-3，0），…（8分）

CM

=

CB

+

BM

=

CB

+

1

3

BP

，∴

CM

=(-

3

3

，-1，

a

3

)，
∴sinθ=|cos＜

CM

，

n

＞|=

| CM • n |

| CM |•| n |

=

2

12 × 3+9+a2 9

=

3

12+a2

=

5

5

，…（10分）
解得a=

3

．∴AP的值為

3

．…（12分）

點評：本題考查直線與平面垂直的判定定理、平面與平面垂直的性質(zhì)定理、勾股定理、二面角的求解等基礎(chǔ)知識和空間向量的立體幾何中的應(yīng)用，意在考查方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學思想方法和考生的空間想象能力、邏輯推理能力和運算求解能力．