Question

如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3BC，CD=

2

BC，過(guò)C作CE⊥AD于E，沿CE折疊，使平面DCE⊥平面ABCE，如圖2．
（1）如果在AD上存在一點(diǎn)F，使BF∥平面DCE，證明：F為AD的中點(diǎn)；
（2）求二面角C-BD-A的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得AE=2BC，取AD中點(diǎn)F，AE中點(diǎn)M，連結(jié)FM、BF、BM，從而FM∥DE，BC

∥

.

ME，進(jìn)而四邊形BCEM是平行四邊形，BM∥EC，由此得到平面DEC∥平面FMB，從而B(niǎo)F∥平面DCE，進(jìn)而能證明在AD上存在一點(diǎn)F，使BF∥平面DCE，則F為AD的中點(diǎn)．
（2）以E為原點(diǎn)，EC為x軸，EA為y軸，ED為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BC=1，求出平面BDC的法向量和平面ABD的法向量，由此利用向量法能求出二面角C-BD-A的大�。�

解答： （1）證明：∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3BC，
過(guò)C作CE⊥AD于E，
∴AE=2BC，取AD中點(diǎn)F，AE中點(diǎn)M，連結(jié)FM、BF、BM，
則FM∥DE，BC

∥

.

ME，∴四邊形BCEM是平行四邊形，
∴BM∥EC，又BM∩FM=M，
∴平面DEC∥平面FMB，
又BF?平面BMF，∴BF∥平面DCE，
故在AD上存在一點(diǎn)F，使BF∥平面DCE，則F為AD的中點(diǎn)．
（2）解：∵CE⊥AD于E，沿CE折疊，使平面DCE⊥平面ABCE，
∴EC、EA、ED兩兩垂直，以E為原點(diǎn)，EC為x軸，EA為y軸，ED為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BC=1，
則C（1，0，0），B（1，1，0），D（0，0，1），A（0，2，0），

BD

=（-1，-1，1），

BC

=（0，-1，0），

BA

=（-1，1，0），
設(shè)平面BDC的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • BD =-x-y+z=0 n • BC =-y=0

，取x=1，得

n

=（1，0，1），
設(shè)平面ABD的法向量

m

=（a，b，c），
則

m • BA =-a+b=0 m • BD =-a-b+c=0

，取a=1，得

m

=（1，1，2），
設(shè)二面角C-BD-A的平面角為θ，
cosθ=

| n • m |

| n |•| m |

=

3

2 × 6

=

3

2

，∴θ=

π

6

．
∴二面角C-BD-A的大小為

π

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與平面之間的平行、垂直等位置關(guān)系，線線角、線面角、二面角的概念、求法等知識(shí)，以及空間想象能力和邏輯推理能力．