Question

8．如圖，點P是菱形ABCD所在平面外一點，∠BAD=60°，△PCD是等邊三角形，AB=2，PA=2$\sqrt{2}$，M是PC的中點．
（Ⅰ）求證：PA∥平面BDM；
（Ⅱ）求證：平面PAC⊥平面BDM；
（Ⅲ）求直線BC與平面BDM的所成角的大�。�

Answer 1

分析 （I）連接MO，則MO∥PA，于是PA∥平面BDM；
（II）計算DO，MO，DM，根據(jù)勾股定理的逆定理得出DO⊥MO，又DO⊥AC，得出DO⊥平面PAC，于是平面PAC⊥平面BDM；
（III）由勾股定理的逆定理得出PA⊥PC，于是MO⊥PC，利用平面PAC⊥平面BDM的性質(zhì)得出CM⊥平面BDM，于是∠CBM直線BC與平面BDM的所成角，在Rt△CBM中求解即可．

解答 解：（I）證明：連接MO．
∵四邊形ABCD是菱形，∴O為AC的中點，∵點M為PC的中點，∴MO∥PA．
又MO?平面BDM，PA?平面BDM，∴PA∥平面BDM．
（II）證明：∵△PCD是邊長為2的等邊三角形，M是PC的中點．∴DM=$\sqrt{3}$．
∵四邊形ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，
∴△ABD是邊長為2的等邊三角形，∴DO=$\frac{1}{2}$BD=1，
又MO=$\frac{1}{2}$PA=$\sqrt{2}$，∴DO²+MO²=DM²，∴BD⊥MO．
∵菱形ABCD中，BD⊥AC，
又MO?平面PAC，AC?平面PAC，MO∩AC=O，∴BD⊥平面PAC．
又BD?平面BDM，∴平面PAC⊥平面BDM．
（Ⅲ）∵BD⊥平面PAC，PC?面PAC，∴DB⊥PC，
又PD=DC，M是PC的中點，∴DM⊥PC，且DM∩DB=D，∴PC⊥平面BDM，
于是∠CBM直線BC與平面BDM的所成角，在Rt△CBM中，sin∠CBM=$\frac{CM}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴∠CBM=$\frac{π}{6}$．
直線BC與平面BDM的所成角的大小$\frac{π}{6}$．

點評 本題考查了線面平行的判定與性質(zhì)，面面垂直的判定與性質(zhì)，線面角的計算，屬于中檔題．