Question

12．已知f（x）=ln（x+1）+a（x²-x），a∈R，討論函數(shù)f（x）極值點(diǎn)的個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

分析 求導(dǎo)數(shù)，由此進(jìn)行分類討論確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個數(shù)．

解答 解：∵f（x）=ln（x+1）+a（x²-x）（x＞-1），
∴f′（x）=$\frac{1}{x+1}$+a（2x-1）=$\frac{1}{x+1}$（2ax²+ax+1-a），
令g（x）=2ax²+ax+1-a，（x＞-1），
（1）當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=1，則f′（x）＞0在（-1，+∞）上恒成立，
則f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，
因此，當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)無極值點(diǎn)；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，△=a²-8a（1-a）=a（9a-8）
①當(dāng)0＜a≤$\frac{8}{9}$時(shí)，△≤0，g（x）≥0，則f′（x）≥0，
則f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，
因此，當(dāng)0＜a≤$\frac{8}{9}$時(shí)，函數(shù)無極值點(diǎn)；
②當(dāng)a＞$\frac{8}{9}$時(shí)，△＞0，
設(shè)方程2ax²+ax+1-a=0的兩個實(shí)根x₁，x₂，（x₁＜x₂）
∵x₁+x₂=-$\frac{1}{2}$，∴x₁＜-$\frac{1}{4}$，x₂＞-$\frac{1}{4}$
由g（-1）=1＞0，可得-1＜x₁＜-$\frac{1}{4}$，
則當(dāng)x∈（-1，x₁）時(shí)，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（x₁，x₂）時(shí)，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（x₂，+∞）時(shí)，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
因此，當(dāng)a＞$\frac{8}{9}$時(shí)，函數(shù)有兩個極值點(diǎn)；
（3）當(dāng)a＜0時(shí)，△＞0，
由g（-1）=1＞0，可得x₁＜-1，
則當(dāng)x∈（-1，x₂）時(shí)，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（x₂，+∞）時(shí)，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
因此，當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)有一個極值點(diǎn)；
綜上所述，當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)有一個極值點(diǎn)；
當(dāng)0≤a≤$\frac{8}{9}$時(shí)，函數(shù)無極值點(diǎn)；
當(dāng)a＞$\frac{8}{9}$時(shí)，函數(shù)有兩個極值點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，解題時(shí)要合理運(yùn)用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)，注意分類討論思想的靈活運(yùn)用，屬于中檔題．