Question

【題目】設(shè)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，．

(I)記.

(i)討論函數(shù)單調(diào)性；

(ii)證明當(dāng)時(shí)，恒成立

(II)令，設(shè)函數(shù)G(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求參數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（i）當(dāng)時(shí)， 單調(diào)減；當(dāng)時(shí)， 單調(diào)增;（ii）見(jiàn)解析;

（Ⅱ）

【解析】

試題（Ⅰ）(1)由函數(shù)求出它的導(dǎo)函數(shù),根據(jù)其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),即可得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間即可.
(2)構(gòu)造函數(shù),對(duì)進(jìn)行討論，證明其最小值大于0.

（Ⅱ）,,通過(guò)對(duì)分類(lèi)討論研究其單調(diào)性，得到有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)的范圍.

試題解析：（Ⅰ）．

，

所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)增．

，

令，，

，

所以，又，所以

時(shí)，恒成立，即

當(dāng)時(shí)，恒成立．

（Ⅱ）由已知，，

．

當(dāng)時(shí)，，有唯一零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，，所以

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)增．

所以，

因，所以當(dāng)時(shí)有唯一零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，，所以，

所以，

因?yàn)?/span>，

所以，，且，當(dāng)，或時(shí)，使，

取，則，從而可知

當(dāng)時(shí)，有唯一零點(diǎn)，

即當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．

③當(dāng)時(shí)，，由，得，或．

若，即時(shí)，，所以是單調(diào)減函數(shù)，至多有一個(gè)零點(diǎn)；

若，即時(shí)，，注意到，都是增函數(shù)，所以

當(dāng)時(shí)，，是單調(diào)減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，是單調(diào)增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，是單調(diào)減函數(shù)．

，所以

至多有一個(gè)零點(diǎn)；

若，即時(shí)，同理可得

當(dāng)時(shí)，，是單調(diào)減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，是單調(diào)增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，是單調(diào)減函數(shù)．

所以，至多有一個(gè)零點(diǎn)．

綜上，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則參數(shù)的取值范圍是．