Question

【題目】設(shè).

（Ⅰ）令，求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當時，直線與的圖像有兩個交點，且，求證：.

Answer 1

【答案】（I）詳見解析；（II）詳見解析.

【解析】

試題（I）先求得的表達式，對求導，以分類討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（II） 由（I）知，，根據(jù)單調(diào)性可知函數(shù)在處取得極小值也是最小值.構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求得，即有，根據(jù)單調(diào)性有.

試題解析：

解：（Ⅰ）由,

可得,

則.

當時, 時，，函數(shù)單調(diào)遞增；

當時，時，，函數(shù)單調(diào)遞增；時，，函數(shù)單調(diào)遞減；

所以，當時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（Ⅱ）由(Ⅰ)知，.

當時, 是增函數(shù)，且當時，，單調(diào)遞減；

當時，，單調(diào)遞增.

所以在處取得極小值，且，

所以.

.

令，則，

于是在（0,1）上單調(diào)遞減，故，

由此得即.

因為，在單調(diào)遞增，

所以即.