Question

某工廠要制造A種電子裝置45臺，B電子裝置55臺，為了給每臺裝配一個(gè)外殼，要從兩種不同的薄鋼板上截取，已知甲種薄鋼板每張面積為2平方米，可作A的外殼3個(gè)和B的外殼5個(gè)；乙種薄鋼板每張面積3平方米，可作A和B的外殼各6個(gè)，設(shè)用這兩種薄鋼板分別為x，y張，
（1）寫出x，y滿足的約束條件；
（2）x，y分別取什么值時(shí)，才能使總的用料面積最小，最小面積為多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知條件，設(shè)用甲種薄金屬板x張，乙種薄金屬板y張，推出做A種的外殼個(gè)數(shù)，B種的外殼個(gè)數(shù)，由題意得出約束條件．
（2）利用（1）的約束條件列出目標(biāo)函數(shù)，然后利用線性規(guī)劃，求出最優(yōu)解．

解答：解：（1）設(shè)用甲種薄金屬板x張，乙種薄金屬板y張，總的用料面積為z平方米．
則可做A種的外殼為3x+5y個(gè)，B種的外殼為5x+6y個(gè)，
由題意得：

3x+5y≥45 5x+6y≥55 x，y∈N

，
（2）由（1）可知

3x+5y≥45 5x+6y≥55 x，y∈N

，
所有薄金屬板的總面積為：z=2x+3y
甲、乙兩種薄鋼板張數(shù)的取值范圍如圖中陰影部分所示（x，y取整數(shù)）．
要使z最小，目標(biāo)函數(shù)表示的直線過點(diǎn)A（

5

7

，

60

7

），由于其不是整數(shù)點(diǎn)，
故平移過點(diǎn)A的直線：z=2x+3y，當(dāng)其經(jīng)過平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)（2，8）時(shí)，
這時(shí)面積為28平方米，此時(shí)直線同時(shí)也經(jīng)過點(diǎn)（5，6）．
因此用甲、乙兩種薄鋼板的張數(shù)分別為2張、8張或者5張、6張，才能使總的用料面積最小．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是簡單的線性規(guī)劃的應(yīng)用，在解決線性規(guī)劃的應(yīng)用題時(shí)，其步驟為：
①分析題目中相關(guān)量的關(guān)系，列出不等式組，即約束條件．
②寫出目標(biāo)函數(shù)．
③由約束條件畫出可行域．
④分析目標(biāo)函數(shù)Z與直線截距之間的關(guān)系．
⑤使用平移直線法求出最優(yōu)解．
⑥還原到現(xiàn)實(shí)實(shí)際問題．