Question

已知函數(shù)f（x）=x²+a|x-b|-1（x∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，求實數(shù)b的值；
（2）在（1）的條件下，若函數(shù)f（x）在（0，+∞）不單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）當a=1時，先求函數(shù)f（x）的最小值g（b），再判斷并證明函數(shù)g（b）的奇偶性．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由函數(shù)f（x）=x²+a|x-b|-1為偶函數(shù)，可得f（-x）=f（x），進而可得實數(shù)b的值；
（2）在（1）的條件下，若函數(shù)f（x）在（0，+∞）不單調(diào)，則-

a

2

＞0，解得實數(shù)a的取值范圍；
（3）當a=1時，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論b在不同取值時函數(shù)f（x）的最小值g（b），進而可得g（b）的奇偶性．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²+a|x-b|-1為偶函數(shù)，
∴f（-x）=（-x）²+a|-x-b|-1=x²+a|x+b|-1=f（x）恒成立，
即x²+a|x-b|-1=x²+a|x+b|-1恒成立，
解得：b=0；（3分）
（2）在（1）的條件下，f（x）=x²+a|x|-1，
當x∈（0，+∞）時，f（x）=x²+ax-1的圖象是開口朝上，且以直線x=-

a

2

為對稱軸的拋物線，
若此時函數(shù)f（x）在（0，+∞）不單調(diào)，
則-

a

2

＞0，
即a＜0；（3分）
（3）當a=1時，f（x）=x²+|x-b|-1=

x2+x-b-1，x≥b x2-x+b-1，x＜b

當b＞

1

2

時，函數(shù)在（-∞，

1

2

）上為減函數(shù)，在（

1

2

，+∞）上為增函數(shù)，
故當x=

1

2

時，函數(shù)取最小值b-

5

4

，
當-

1

2

≤b≤

1

2

時，函數(shù)在（-∞，b）上為減函數(shù)，在（b，+∞）上為增函數(shù)，
故當x=b時，函數(shù)取最小值b²-1，
當b＜-

1

2

時，函數(shù)在（-∞，-

1

2

）上為減函數(shù)，在（-

1

2

，+∞）上為增函數(shù)，
故當x=-

1

2

時，函數(shù)取最小值-b-

5

4

，
∴g（b）=

b- 5 4 ，b＞ 1 2 b2-1，- 1 2 ≤b≤ 1 2 -b- 5 4 ，b＜ 1 2

∵g（b）的定義域關于原點對稱，
當b＞

1

2

時，-b＜-

1

2

，
此時g（-b）=b-

5

4

=g（b），
當-

1

2

≤b≤

1

2

時，-

1

2

≤-b≤

1

2

，
此時g（-b）=b²-1=g（b），
當b＜-

1

2

時，-b＞

1

2

，
此時g（-b）=-b-

5

4

=g（b），
綜上所述，g（-b）=g（b）恒成立，
即函數(shù)g（b）是偶函數(shù)．

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關鍵．