Question

已知

1

3

≤a≤1，若函數(shù)f（x）=ax²-2x在[1，3]上的最大值為M（a），最小值為N（a），令g（a）=M（a）-N（a）．
（1）求g（a）的表達(dá)式；
（2）若關(guān)于a的方程g（a）-t=0有解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：分類討論,函數(shù)思想,方程思想,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)f（x）解析式，討論a的取值范圍，求出f（x）的最值，得出g（a）的表達(dá)式；
（2）先用定義判斷函數(shù)g（a）在定義域上的單調(diào)性，再求出g（a）的值域，把方程g（a）-t=0有解轉(zhuǎn)化為t=g（a）有解，求出t的取值范圍即可．

解答： 解：（1）f（x）=ax²-2x=a(x-

1

a

)2-

1

a

，…（1分）
∵

1

3

≤a≤1，∴1≤

1

a

≤3；
①當(dāng)1≤

1

a

≤2，即

1

2

≤a≤1時(shí)，則x=3時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值；
x=

1

a

時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值；
∴M（a）=f（3）=9a-6，N（a）=f（

1

a

）=-

1

a

；
∴g（a）=M（a）-N（a）=9a+

1

a

-6；…（3分）
②當(dāng)2＜

1

a

≤3，即

1

3

≤a≤

1

2

時(shí)，則x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值；
x=

1

a

時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值．
∴M（a）=f（1）=a-2，N（a）=f（

1

a

）=-

1

a

．
∴g（a）=M（a）-N（a）=a+

1

a

-2；…（5分）
綜上，得g（a）=

a+ 1 a -2， 1 3 ≤a＜ 1 2 9a+ 1 a -6， 1 2 ≤a≤1

；  …（6分）
（2）任取a₁，a₂∈[

1

3

，

1

2

），且a₁＜a₂，
g（a₁）-g（a₂）=（a₁+

1

a1

-2）-（a₂+

1

a2

-2）=

(a1-a2)(a1a2-1)

a1a2

；…（7分）
∵a₁a₂∈[

1

3

，

1

2

），且a₁＜a₂，
∴a₁-a₂＜0，a₁a₂＞0，a₁a₂-1＜0；
∴

(a1-a2)(a1a2-1)

a1a2

＞0，即g（a₁）-g（a₂）＞0；
∴g（a₁）＞g（a₂）．
∴函數(shù)g（a）在[

1

3

，

1

2

）上單調(diào)遞減；…（8分）
任取a₃，a₄∈[

1

2

，1]，且a₃＜a₄，
g（a₃）-g（a₄）=（9a₃+

1

a3

-6）-（9a₄+

1

a4

-6）=

(a3-a4)(9a3a4-1)

a3a4

；…（9分）
∵a₃，a₄∈[

1

2

，1]，且a₃＜a₄，
∴a₃-a₄＜0，a₃a₄＞0，9a₃a₄-1＞0；
∴

(a3-a4)(9a3a4-1)

a3a4

＜0，即g（a₃）-g（a₄）＜0；
∴g（a₃）＜g（a₄）；
∴函數(shù)g（a）在[

1

2

，1]上單調(diào)遞增；…（10分）
當(dāng)a=

1

2

時(shí)，g（a）取得最小值，其值為g（

1

2

）=

1

2

，…（11分）
又g（

1

3

）=

4

3

，g（1）=4．
∴函數(shù)g（a）的值域?yàn)閇

1

2

，4]；．…（12分）
∵關(guān)于a的方程g（a）-t=0有解等價(jià)于t=g（a）有解，
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍為函數(shù)g（a）的值域；         …（13分）
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍為[

1

2

4，]．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了函數(shù)與方程思想的應(yīng)用問(wèn)題，考查了分類討論思想的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．