Question

17．從0，1，2，3，4這五個數(shù)中任選三個不同的數(shù)組成一個三位數(shù)，記X為所組成的三位數(shù)各位數(shù)字之和．
（1）求X是奇數(shù)的概率；
（2）求X的概率分布列及數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）從0，1，2，3，4這五個數(shù)中任選三個不同的數(shù)組成一個三位數(shù)，求出基本事件總數(shù)，X為所組成的三位數(shù)各位數(shù)字之和，求出X是奇數(shù)包含的基本事件個數(shù)，由此能求出X是奇數(shù)的概率．
（2）由已知得X的可能取值為3，4，5，6，7，8，9，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學期望EX．

解答 解：（1）從0，1，2，3，4這五個數(shù)中任選三個不同的數(shù)組成一個三位數(shù)，
基本事件總數(shù)為n=${C}_{4}^{1}{A}_{4}^{2}$=48，
X為所組成的三位數(shù)各位數(shù)字之和，X是奇數(shù)包含的基本事件個數(shù)：
若百位數(shù)字是1或3，則十位數(shù)字和個位數(shù)字只能取0，2，4中的兩個數(shù)字，
滿足條件的有：${C}_{2}^{1}{A}_{3}^{2}$=12，
若百位數(shù)字是2或4，則十位數(shù)字和個位數(shù)字只能取1或3，
滿足條件的有：${C}_{2}^{1}{A}_{2}^{2}$=4，
∴X是奇數(shù)的概率p=$\frac{4}{48}$=$\frac{1}{12}$．
（2）由已知得X的可能取值為3，4，5，6，7，8，9，
P（X=3）=$\frac{{C}_{2}^{1}{A}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{1}{A}_{4}^{2}}$=$\frac{4}{48}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{2}^{1}{A}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{1}{A}_{4}^{2}}$=$\frac{4}{48}$，
P（X=5）=$\frac{{C}_{2}^{1}{A}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{1}{A}_{4}^{2}}$+$\frac{{C}_{2}^{1}{A}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{1}{A}_{4}^{2}}$=$\frac{8}{48}$，
P（X=6）=$\frac{{C}_{2}^{1}{A}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{1}{A}_{4}^{2}}$+$\frac{{A}_{3}^{3}}{{C}_{4}^{1}{A}_{4}^{2}}$=$\frac{10}{48}$，
P（X=7）=$\frac{{C}_{2}^{1}{A}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{1}{A}_{4}^{2}}$+$\frac{{A}_{3}^{3}}{{C}_{4}^{1}{A}_{4}^{2}}$=$\frac{10}{48}$，
P（X=8）=$\frac{{A}_{3}^{3}}{{C}_{4}^{1}{A}_{4}^{2}}$=$\frac{6}{48}$，
P（X=9）=$\frac{{A}_{3}^{3}}{{C}_{4}^{1}{A}_{4}^{2}}$=$\frac{6}{48}$，
∴X的分布列為：

X	3	4	5	6	7	8	9
P	$\frac{4}{48}$	$\frac{4}{48}$	$\frac{8}{48}$	$\frac{10}{48}$	$\frac{10}{48}$	$\frac{6}{48}$	$\frac{6}{48}$

數(shù)學期望E（X）=$3×\frac{4}{48}+4×\frac{4}{48}+5×\frac{8}{48}$+$6×\frac{10}{48}$+7×$\frac{10}{48}$+8×$\frac{6}{48}$+9×$\frac{6}{48}$=6.25．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．