Question

7．已知函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-2|，不等式f（x）≥t對?x∈R恒成立．
（1）求t的取值范圍；
（2）記t的最大值為T，若正實數(shù)a，b滿足a²+b²=T，求證：$\frac{2}{{\frac{1}{a}+\frac{1}}}$≤$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用絕對值三角不等式求出f（x）的最小值，即可求t的取值范圍；
（2）求出t的最大值為T，化簡a²+b²=T，利用基本不等式證明：$\frac{2}{{\frac{1}{a}+\frac{1}}}$≤$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

解答 解：（1）f（x）=|x+1|+|2-x|≥|x+1+2-x|=3，所以t≤3．（5分）
（2）證明：由（1）知T=3，所以a²+b²=3（a＞0，b＞0）
因為a²+b²≥2ab，所以$ab≤\frac{3}{2}$，又因為$\frac{1}{a}+\frac{1}≥\frac{2}{{\sqrt{ab}}}$，
所以$\frac{2}{{\frac{1}{a}+\frac{1}}}≤\sqrt{ab}≤\frac{{\sqrt{6}}}{2}$（當且僅當a=b時取“=”）．（10分）

點評 本題考查絕對值不等式的值應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，考查邏輯推理能力以及計算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．