Question

6．若有窮數(shù)列a₁，a₂…a_n（n是正整數(shù)），滿足a₁=a_n，a₂=a_n-1，…，a_n=a₁即a_i=a_n-i+1（i是正整數(shù)，且1≤i≤n），就稱該數(shù)列為“對(duì)稱數(shù)列”．例如，數(shù)列1，2，5，2，1與數(shù)列8，4，2，2，4，8都是“對(duì)稱數(shù)列”．
（1）已知數(shù)列{b_n}是項(xiàng)數(shù)為9的對(duì)稱數(shù)列，且b₁，b₂，b₃，b₄，b₅成等差數(shù)列，b₁=2，b₄=11，試求b₆，b₇，b₈，b₉，并求前9項(xiàng)和s₉．
（2）若{c_n}是項(xiàng)數(shù)為2k-1（k≥1）的對(duì)稱數(shù)列，且c_k，c_k+1…c_2k-1構(gòu)成首項(xiàng)為31，公差為-2的等差數(shù)列，數(shù)列
{c_n}前2k-1項(xiàng)和為S_2k-1，則當(dāng)k為何值時(shí)，S_2k-1取到最大值？最大值為多少？
（3）設(shè){d_n}是100項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”，其中d₅₁，d₅₂，…，d₁₀₀是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．求{d_n}前n項(xiàng)的和S_n（n=1，2，…，100）．

Answer 1

分析 （1）求出{b_n}的前4項(xiàng)，利用對(duì)稱性得出后4項(xiàng)；
（2）根據(jù)對(duì)稱性求出S_2k-1關(guān)于k的函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出S_2k-1的最大值；
（3）由對(duì)稱可知{d_n}前50項(xiàng)為公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，討論n與50的大小關(guān)系得出S_n．

解答 解：（1）設(shè){b_n}前5項(xiàng)的公差為d，則b₄=b₁+3d=2+3d=11，解得 d=3，
∴b₆=b₄=11，b₇=b₃=2+2×3=8，b₈=b₂=2+3=5，b₉=b₁=2，
∴s₉=2（2+5+8+11+14）-14=66；                                
（2）S_2k-1=c₁+c₂+…+c_k-1+c_k+c_k+1+…+c_2k-1=2（c_k+c_k+1+…+c_2k-1）-c_k
∴${S_{2k-1}}=2[{k×31+\frac{k（k-1）}{2}×（-2）}]-31=-2{（\;k-16\;）^2}+2×{16^2}-31$，
∴當(dāng)k=16時(shí)，S_2k-1取得最大值．S_2k-1的最大值為481．               
（3）${d_{51}}=1，{d_{100}}=1×{2^{49}}={2^{49}}$．
由題意得 d₁，d₂，…，d₅₀是首項(xiàng)為2⁴⁹，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列．   
當(dāng)n≤50時(shí)，S_n=d₁+d₂+…+d_n=$\frac{{{2^{49}}（1-\frac{1}{2^n}）}}{{1-\frac{1}{2}}}={2^{50}}-{2^{50-n}}$．       
當(dāng)51≤n≤100時(shí)，S_n=d₁+d₂+…+d_n=S₅₀+（d₅₁+d₅₂+…+d_n）=${2^{50}}-1+\frac{{1-{2^{n-50}}}}{1-2}={2^{50}}+{2^{n-50}}-2$
綜上所述，${S_n}=\left\{{\begin{array}{l}{{2^{50}}-{2^{50-n}}，1≤n≤50，\;\;\;\;}\\{{2^{50}}+{2^{n-50}}-2，51≤n≤100}\end{array}}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列求和，屬于中檔題．