Question

1．設(shè)點(diǎn)F（0，$\frac{1}{2}$），動(dòng)圓P經(jīng)過點(diǎn)F且和直線y=-$\frac{1}{2}$相切，記動(dòng)圓的圓心P的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）過點(diǎn)F（0，$\frac{1}{2}$）的直線l與曲線E交于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)N（0，a）（a＜0），$\overrightarrow{NP}$與$\overrightarrow{NQ}$的夾角為θ，若θ≤$\frac{π}{2}$，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：動(dòng)圓的圓心P的軌跡曲線E為拋物線：x²=2y．
（2）設(shè)直線l的方程為：y=kx+$\frac{1}{2}$，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直線方程與拋物線方程聯(lián)立化為：x²-2kx-1=0，
$\overrightarrow{NP}$=（x₁，y₁-a），$\overrightarrow{NQ}$=（x₂，y₂-a）．根據(jù)$\overrightarrow{NP}$與$\overrightarrow{NQ}$的夾角為θ，θ≤$\frac{π}{2}$，可得$\overrightarrow{NP}$•$\overrightarrow{NQ}$=x₁x₂+（y₁-a）（y₂-a）≥0．把根與系數(shù)的關(guān)系代入化簡即可得出．

解答 解：（1）由題意可得：動(dòng)圓的圓心P的軌跡曲線E為拋物線：x²=2y．
（2）設(shè)直線l的方程為：y=kx+$\frac{1}{2}$，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\frac{1}{2}}\\{{x}^{2}=2y}\end{array}\right.$，化為：x²-2kx-1=0，
∴x₁+x₂=2k，x₁x₂=-1．
$\overrightarrow{NP}$=（x₁，y₁-a），$\overrightarrow{NQ}$=（x₂，y₂-a）．
∵$\overrightarrow{NP}$與$\overrightarrow{NQ}$的夾角為θ，θ≤$\frac{π}{2}$，
∴$\overrightarrow{NP}$•$\overrightarrow{NQ}$=x₁x₂+（y₁-a）（y₂-a）=x₁x₂+$（k{x}_{1}+\frac{1}{2}-a）$$（k{x}_{2}+\frac{1}{2}-a）$=（1+k²）x₁x₂+k$（\frac{1}{2}-a）$（x₁+x₂）+$（\frac{1}{2}-a）^{2}$≥0．
∴-（1+k²）+k$（\frac{1}{2}-a）$（2k）+$（\frac{1}{2}-a）^{2}$≥0．a(chǎn)＜0．
化為：k²≥$\frac{{a}^{2}-a-\frac{3}{4}}{2a}$，
∴a²-a-$\frac{3}{4}$≥0，a＜0，
解得：$a≤-\frac{1}{2}$．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是$（-∞，-\frac{1}{2}]$．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．