Question

11．是否存在θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）．使z²+8z+9=（z-tanθ）（z-tan3θ）對(duì)一切復(fù)數(shù)z恒成立？

Answer 1

分析 z²+8z+9=（z-tanθ）（z-tan3θ）=z²-（tanθ+tan3θ）z+tanθ•tan3θ對(duì)一切復(fù)數(shù)z恒成立，可得-（tanθ+tan3θ）=8，tanθ•tan3θ=9．利用倍角公式可得tanθ．另一方面由tanθ，tan3θ是一元二次方程t²+8t+9=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，解得：tanθ，即可判斷出結(jié)論．

解答 解：z²+8z+9=（z-tanθ）（z-tan3θ）=z²-（tanθ+tan3θ）z+tanθ•tan3θ對(duì)一切復(fù)數(shù)z恒成立，
∴-（tanθ+tan3θ）=8，tanθ•tan3θ=9．
由tanθ•tan3θ=tanθ•$\frac{tan2θ+tanθ}{1-tanθ•tan2θ}$
=tanθ•$\frac{\frac{2tanθ}{1-ta{n}^{2}θ}+tanθ}{1-\frac{2ta{n}^{2}θ}{1-ta{n}^{2}θ}}$=tanθ•$\frac{3tanθ-ta{n}^{3}θ}{1-3ta{n}^{2}θ}$=9．
化為：（tan²θ）²-30tan²θ+9=0，
解得tan²θ=15±$6\sqrt{6}$，
解得tanθ=±（3±$\sqrt{6}$）．
由tanθ，tan3θ是一元二次方程t²+8t+9=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
解得：tanθ=-4+$\sqrt{7}$，或-4-$\sqrt{7}$．
得出矛盾，因此不存在θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）．使z²+8z+9=（z-tanθ）（z-tan3θ）對(duì)一切復(fù)數(shù)z恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)相等、一元二次方程的解法、倍角公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．