Question

2．如圖，某開(kāi)發(fā)區(qū)內(nèi)新建兩棟樓AB，CD（A，C為水平地面），已知樓AB的高度為10m，兩樓間的距離AC為70m．
（1）若在AC上距離樓AB30m的點(diǎn)P處測(cè)得兩樓的張角∠BPD=135°，求樓CD的高度；
（2）若樓CD的高度為20米，試在AC上確定一點(diǎn)P，使得張角∠BPD最大．

Answer 1

分析 （1）在直角三角形ABP和PCD中，由∠B+∠D=135°，利用兩角和的正切公式得到CD的方程解之；
（2）設(shè)AP=x，利用兩角和的正切公式得到x的解析式，變形后利用基本不等式求最大值時(shí)的x值．

解答 解：（1）由題意，AP=30，PC=40，AB=10，所以tan∠B=$\frac{AP}{AB}$=3，又∠B+∠D=135°，所以tan（∠B+∠D）=$\frac{tanB+tanD}{1-tanBtanD}=1$，即$\frac{3+\frac{40}{CD}}{1-3×\frac{40}{CD}}=1$，解得CD=20；
（2）設(shè)AP=x，則PC=70-x，tanB=$\frac{AP}{AB}=\frac{x}{10}$，tanD=$\frac{PC}{CD}=\frac{70-x}{20}$，所以tan（B+D）=$\frac{tanB+tanD}{1-tanBtanD}=\frac{\frac{x}{10}+\frac{70-x}{20}}{1-\frac{x}{10}•\frac{70-x}{20}}$=$\frac{10（x+70）}{{x}^{2}-70x+200}$，
令t=70+x∈[7-，140]，則tan∠BPD=$\frac{10t}{{t}^{2}-210t+10000}$=$\frac{10}{t+\frac{10000}{t}-210}$，其中$t+\frac{10000}{t}≥2\sqrt{t×\frac{10000}{t}=2}00$，當(dāng)且僅當(dāng)t=100即x=30時(shí)等號(hào)成立，
所以$\frac{10}{t+\frac{10000}{t}-210}$≤-1或者$\frac{10}{t+\frac{10000}{t}-210}$＞0，即tan∠BPD≤-1，或tan∠BPD＞0，要使得張角∠BPD最大只要使得張角∠BPD=-1，所以x=30；
樓CD的高度為20米，APwei 30m時(shí)，使得張角∠BPD最大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解三角形的應(yīng)用；關(guān)鍵是借助于直角三角形建立邊角的方程以及基本不等式求最值；屬于中檔題．