Question

4．已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（0，$\sqrt{3}$），（0，-$\sqrt{3}$），且AC，BC所在直線的斜率之積等于m（m≠0）．
（1）求頂點(diǎn)C的軌跡M的方程，并判斷軌跡M為何種曲線；
（2）當(dāng)m=-$\frac{3}{4}$時(shí)，點(diǎn)P（1，t）為曲線M上點(diǎn)，且點(diǎn)P為第一象限點(diǎn)，過點(diǎn)P作兩條直線與曲線M交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，直線PE，PF斜率互為相反數(shù)，則直線EF斜率是否為定值，若是，求出定值，若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用兩直線的斜率之積為m，所以有$\frac{y+\sqrt{3}}{x}$•$\frac{y-\sqrt{3}}{x}$=m，化簡得到-$\frac{m}{3}{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1（x≠0），分類討論，得到軌跡M為何種曲線；
（2）設(shè)直線PE的方程與橢圓方程聯(lián)立，求得E的坐標(biāo)，同理得到F的坐標(biāo)，利用斜率公式，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）令C點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則直線AC的斜率k₁=$\frac{y+\sqrt{3}}{x}$，直線BC的斜率k₂=$\frac{y-\sqrt{3}}{x}$，
因?yàn)閮芍本�的斜率之積為m，所以有$\frac{y+\sqrt{3}}{x}$•$\frac{y-\sqrt{3}}{x}$=m，化簡得到-$\frac{m}{3}{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1（x≠0），…（3分）
所以
當(dāng)m=-1時(shí)，軌跡E表示以（0，0）為圓心，$\sqrt{3}$為半徑的圓，且除去（0，-$\sqrt{3}$），（0，$\sqrt{3}$）兩點(diǎn)…（4分）
當(dāng)m＜-1時(shí)，軌跡E表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，且除去（0，-$\sqrt{3}$），（0，$\sqrt{3}$）兩點(diǎn)；…（5分）
當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，軌跡E表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，且除去（0，-$\sqrt{3}$），（0，$\sqrt{3}$）兩點(diǎn)；…（6分）
當(dāng)＞0時(shí)，軌跡E表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，且除去（0，-$\sqrt{3}$），（0，$\sqrt{3}$）兩點(diǎn)；…（7分）
（2）由題意曲線C為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1（x≠0），點(diǎn)P（1，$\frac{3}{2}$），
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），令直線PE：y-$\frac{3}{2}$=k（x-1），
聯(lián)立橢圓方程，得（3+4k²）x²+8k（$\frac{3}{2}$-k）x+4（$\frac{3}{2}$-k）²-12=0，…（9分）
則x₁x_P=$\frac{4{k}^{2}-12k-3}{3+4{k}^{2}}$，∴x₁=$\frac{4{k}^{2}-12k-3}{3+4{k}^{2}}$，
同理，x₂=$\frac{4{k}^{2}+12k-3}{3+4{k}^{2}}$，
∴k_EF=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{-k（{x}_{2}+{x}_{1}）+2k}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{1}{2}$．
故直線EF斜率為定值$\frac{1}{2}$ …（13分）

點(diǎn)評 本題考查了直線的斜率，考查軌跡方程，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．