Question

12．[A]已知數列{a_n}滿足a₄=20，a_n+1=2a_n-n+1（n∈N⁺）．
（1）計算a₁，a₂，a₃，根據計算結果，猜想a_n的表達式（不必證明）；
（2）用數學歸納法證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）由a₄=20，a_n+1=2a_n-n+1，可求得a₁，a₂，a₃的值，從而可猜想{a_n}的一個通項公式．
（2）按照數學歸納法的證題步驟：先證明n=1時命題成立，再假設當n=k時結論成立，去證明當n=k+1時，結論也成立，從而得出命題a_n=2ⁿ+n對任意的正整數n恒成立．

解答 解：（1）∵a_n+1=2a_n-n+1，
∴a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），
當n=3時，a₄=2a₃-3+1，解得a₃=11，
當n=2時，a₃=2a₂-2+1，解得a₂=6，
當n=1時，a₂=2a₁-1+1，解得a₁=3，
可以猜想a_n=2ⁿ+n，
（2）下面用數學歸納法證明：a_n=2ⁿ+n，（n∈N⁺）．
①當n=1時，a₁=3，成立，
②假設n=k時成立，即a_k=2^k+k，
那么當n=k+1時，a_k+1=2a_k-k+1=2×2^k+2k-k+1=2^k+1+k+1，
所以當n=k+1時，猜想成立，
由①②可知，猜想成立，即a_n=2ⁿ+n．（n∈N⁺）．

點評 本題考查數學歸納法，考查推理證明的能力，假設n=k（k∈N^*）時命題成立，去證明則當n=k+1時，用上歸納假設是關鍵，屬于中檔題．