【題目】在多面體ABCDE中,BC=BA,DE∥BC,AE⊥平面BCDE,BC=2DE,F(xiàn)為AB的中點.
(1)求證:EF∥平面ACD;
(2)若EA=EB=CD,求二面角B﹣AD﹣E的正切值的大小.
【答案】
(1)證明:取AC中點G,連接DG,F(xiàn)G.
因為F是AB的中點,所以FG是△ABC的中位線,
則FG∥BC,F(xiàn)G= ,
所以FG∥DE,F(xiàn)G=DE,
則四邊形DEFG是平行四邊形,
所以EF∥DG,故EF∥平面ACD.
(2)解:過點B作BM垂直DE的延長線于點M,
因為AE⊥平面BCDE,所以AE⊥BM,則BM⊥平面ADE,
過M作MH⊥AD,垂足為H,連接BH,則AD⊥平面BMH,
所以AD⊥BH,則∠BHM是二面角B﹣AD﹣E的平面角.
設(shè)DE=a,則BC=AB=2a,
在△BEM中,EM= ,BE= ,所以BM= .
又因為△ADE∽△MDH,
所以HM= ,則tan∠BHM= .
【解析】(1)取AC中點G,連接DG,F(xiàn)G,由已知得四邊形DEFG是平行四邊形,由此能證明EF∥平面ACD.(2)過點B作BM垂直DE的延長線于點M,過M作MH⊥AD,垂足為H,連接BH,則∠BHM是二面角B﹣AD﹣E的平面角,由此能求出二面角B﹣AD﹣E的正切值的大。
【考點精析】通過靈活運(yùn)用直線與平面平行的判定,掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行即可以解答此題.
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【題目】已知函數(shù)f(x)= +bx(其中a,b為常數(shù))的圖象經(jīng)過(1,3)、(2,3)兩點.
(I)求a,b的值,判斷并證明函數(shù)f(x)的奇偶性;
(II)證明:函數(shù)f(x)在區(qū)間[ ,+∞)上單調(diào)遞增.
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【題目】設(shè)F1 , F2分別是C: + =1(a>b>0)的左,右焦點,M是C上一點且MF2與x軸垂直,直線MF1與C的另一個交點為N.
(1)若直線MN的斜率為 ,求C的離心率;
(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.
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【題目】已知雙曲線 (a>0,b>0)的離心率為 ,虛軸長為4.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點(0,1),傾斜角為45°的直線l與雙曲線C相交于A、B兩點,O為坐標(biāo)原點,求△OAB的面積.
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【題目】已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1,以頂點A為球心, 為半徑作一個球,則球面與正方體的表面相交所得到的曲線的長等于 .
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【題目】下列命題中正確的是( )
A.若p∨q為真命題,則p∧q為真命題
B.“a>0,b>0”是“ ≥2”的充分必要條件
C.命題“若x2﹣3x+2=0,則x=1或x=2”的逆否命題為“若x≠1或x≠2,則x2﹣3x+2≠0”
D.命題p:?x∈R,使得x2+x﹣1<0,則¬p:?x∈R,使得x2+x﹣1≥0
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【題目】已知函數(shù)f(x)= ,若方程f(x)=a有四個不同的解x1 , x2 , x3 , x4 , 且x1<x2<x3<x4 , 則x3(x1+x2)+ 的取值范圍是( )
A.(﹣1,+∞)
B.(﹣1,1]
C.(﹣∞,1)
D.[﹣1,1)
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【題目】已知全集為R,集合A={x|y=lgx+ },B={x| <2x﹣a≤8}.
(1)當(dāng)a=0時,求(RA)∩B;
(2)若A∪B=B,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】對實數(shù)a和b,定義運(yùn)算“”:ab= ,設(shè)函數(shù)f(x)=(x2﹣2)(x﹣x2),x∈R,若函數(shù)y=f(x)+c的圖象與x軸恰有兩個公共點,則實數(shù)c的取值范圍是 .
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