Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域是R，值域是（0，+∞），對于任意實數(shù)m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且當x＜0時，0＜f（x）＜1．
（Ⅰ）求證：f（0）=1，且當x＞0時，有f（x）＞1；
（Ⅱ）證明對于任意實數(shù)m，n，恒有f(m-n)=

f(m)

f(n)

，并判斷f（x）在R上的單調(diào)性；
（Ⅲ）集合A={（x，y）|f（x²）•f（y²）＜f（1）}，集合B={（x，y）|f（ax-y+2）=1，a∈R}，若A∩B=φ，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關(guān)系,交集及其運算,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,抽象函數(shù)及其應用,函數(shù)的零點

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（I）由于f（m+n）=f（m）f（n），令m=1，n=0，可得f（1）=f（1）f（0），已知f（x）值域是（0，+∞），可得f（1）≠0，即可得出f（0）．取m=x，n=-x，則有f（0）=f（x）f（-x），即f（x）f（-x）=1，利用當x＜0時，0＜f（x）＜1即可得出．
（II）由于對于任意實數(shù)m，n，恒有f(m-n)=f(m)f(-n)=

f(m)

f(n)

，設(shè)x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，可得

f(x1)

f(x2)

=f(x1-x2)＜1，即可證明．
（III）對于集合A：f（x²+y²）=f（x²）f（y²）＜f（1），利用f（x）是R上的單調(diào)增函數(shù)，
可得x²+y²＜1．由f（ax-y+2）=1=f（0），可得ax-y+2=0．由于A∩B=φ，可得

ax-y+2=0 x2+y2＜1

無公共點，利用直線與圓的位置關(guān)系即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（m+n）=f（m）f（n），令m=1，n=0，則有f（1）=f（1）f（0），
∵f（x）值域是（0，+∞），∴f（1）≠0，∴f（0）=1．
取m=x，n=-x，則有f（0）=f（x）f（-x），即f（x）f（-x）=1，
∵當x＞0時，有-x＜0，∴0＜f（-x）＜1，即0＜

1

f(x)

＜1，
∴f（x）＞1．
（Ⅱ）證明：對于任意實數(shù)m，n，恒有f(m-n)=f(m)f(-n)=

f(m)

f(n)

，
設(shè)x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，∴

f(x1)

f(x2)

=f(x1-x2)＜1，
∵f（x）＞0，∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）是R上的單調(diào)增函數(shù)；  
（Ⅲ）∵f（x²+y²）=f（x²）f（y²）＜f（1），f（x）是R上的單調(diào)增函數(shù)，
∴x²+y²＜1．
又f（ax-y+2）=1=f（0），∴ax-y+2=0，
∵A∩B=φ，∴

ax-y+2=0 x2+y2＜1

無公共點，
即

ax-y+2=0 x2+y2=1

無解或有一個公共解．
即方程（a²+1）x²+4ax+3=0無解或有唯一解；
即△=4a²-12≤0，解得    -

3

≤a≤

3

．

點評：本題綜合考查了抽象函數(shù)的單調(diào)性、直線與圓的位置關(guān)系，考查了分析問題和解決問題的能力，考查了推理能力，屬于難題．