Question

函數(shù)f(x)=

cos2x

sinx+cosx

+2sinx．
（Ⅰ）在△ABC中，cosA=-

3

5

，求f（A）的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及其圖象的所有對稱軸的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：計(jì)算題

分析：（Ⅰ）利用2倍角的余弦公式與平方差公式，把函數(shù)解析式化簡為f（x）=cosx+sinx=

2

sin(x+

π

4

)，再利用A的范圍求出sinA，可求f（A）；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)解析式可得f（x）的最小正周期T=2π．令x+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z，求出x=kπ+

π

4

，k∈Z，即為對稱軸方程．

解答： 解：（Ⅰ）由sinx+cosx≠0得x≠kπ-

π

4

，k∈Z．
f(x)=

cos2x

sinx+cosx

+2sinx=

cos2x-sin2x

sinx+cosx

+2sinx=cosx+sinx=

2

sin(x+

π

4

)，
因?yàn)樵凇鰽BC中，cosA=-

3

5

＜0，
所以

π

2

＜A＜π，
所以sinA=

1-cos2A

=

4

5

，
所以f(A)=sinA+cosA=

4

5

-

3

5

=

1

5

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f(x)=

2

sin(x+

π

4

)，
所以f（x）的最小正周期T=2π．
因?yàn)楹瘮?shù)y=sinx的對稱軸為x=kπ+

π

2

，k∈Z，
又由x+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z，得x=kπ+

π

4

，k∈Z，
所以f（x）的對稱軸的方程為x=kπ+

π

4

，k∈Z．

點(diǎn)評：本題考查了2倍角的余弦公式，兩角和的正弦公式及平方差公式，考查了三角函數(shù)的最小正周期的求法及對稱軸方程，解題的關(guān)鍵是對三角函數(shù)式的化簡．