Question

在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，BO⊥AD于O，且AD=3BC=3BO，現(xiàn)將梯形沿BO折疊，使得△AOB所在平面與四邊形OBCD所在平面互相垂直，連接AD、AC，E是AC中點．
（Ⅰ）求證：OE⊥CD；
（Ⅱ）若梯形ABCD的面積是4，求C-BOE的體積V_C-BOE；
（Ⅲ）求二面角E-OB-A的大小．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由題意得OA⊥OB，平面AOB⊥平面OBCD，從而AO⊥平面OBCD，進而AO⊥CD，又CD⊥OC，由此能證明OE⊥CD．
（Ⅱ）設BC=x，由梯形ABCD的面積是4，知

(x+3x)x

2

=4，由AO⊥平面OBCD，能求出E到平面OBCD的距離，由此能求出三棱C-BOE的體積V_C-BOE．
（Ⅲ）取AB中點F，過F作FG⊥OB于G，連接EF，EG，由已知得∠EGF為二面角E-OB-A的平面角，由此能求出二面角E-OB-A的大�。�

解答： （Ⅰ）證明：由題意得OA⊥OB，平面AOB⊥平面OBCD，
∴AO⊥平面OBCD，
∵CD⊆平面OBCD，∴AO⊥CD，
又∵AD=3BC=3BO，
∴OD=

2

OC=

2

CD，
∴CD⊥OC，
∵AO∩OC=O，∴CD⊥平面AOC，
又OE⊆平面AOC，∴OE⊥CD．
（Ⅱ）解：設BC=x，由梯形ABCD的面積是4，知

(x+3x)x

2

=4，
∴BC=OB=OA=

2

，
由（Ⅰ）知AO⊥平面OBCD，又E是AC中點，
∴E到平面OBCD的距離h=

OA

2

=

2

2

，
∴V_C-BOE=V_R-BOC=

1

3

×

1

2

×

2

×

2

×

2

2

=

2

6

．
（Ⅲ）解：如圖所示，取AB中點F，過F作FG⊥OB于G，
連接EF，EG，
∴EF∥BC∥OD，
∴EF⊥平面AOB，又OB⊆平面AOB，
∴OB⊥EF，∴OB⊥平面EFG，
又EG⊆平面EFG，∴OB⊥FG，
∴∠EGF為二面角E-OB-A的平面角，
∵AD=3BC=3BO，
設BC=1，
在Rt△EGF中，EF=FG=

1

2

，
∴tan∠EGF=

EF

FG

=1，∴∠EGF=

π

4

，
∴二面角E-OB-A的大小為

π

4

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查二面角的大小的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．