Question

已知橢圓

x2

p2

+

y2

3

=1的左焦點在拋物線C：y²=2px（p＞0）的準線上，F(xiàn)為拋物線的焦點．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）若直線l過點F交拋物線于不同的兩點A、B，交y軸于點M，且

MA

=a

AF

，

MB

=b

BF

，則對任意的直線l，a+b是否為定值？若是，求出a+b的值；否則，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,拋物線的標準方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由橢圓

x2

p2

+

y2

3

=1的左焦點為（-

p2-3

，0），拋物線C：y²=2px（p＞0）的準線x=-

p

2

，建立方程，可求p的值，從而可得拋物線C的方程；
（Ⅱ）設直線l：y=k（x-1），l與y軸交于M（0，-k），設直線l交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），與拋物線聯(lián)立，消元利用韋達定理，結(jié)

MA

=a

AF

，

MB

=b

BF

，可得a，b，由此可得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）橢圓

x2

p2

+

y2

3

=1的左焦點為（-

p2-3

，0），拋物線C：y²=2px（p＞0）的準線x=-

p

2

，
∴-

p2-3

=-

p

2

，
∴p=2，
∴拋物線C的方程為y²=4x；
（Ⅱ）由已知得直線l的斜率一定存在，所以設l：y=k（x-1），l與y軸交于M（0，-k），
設直線l交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線l代入拋物線方程，可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
∴x₁+x₂=2+

4

k2

，x₁x₂=1
∵

MA

=a

AF

，∴（x₁，y₁+k）=（1-x₁，-y₁），∴a=

x1

1-x1

，
同理b=

x2

1-x2

，
∴a+b=

x1

1-x1

+

x2

1-x2

=-1，
∴對任意的直線l，a+b為定值-1．

點評：本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查向量知識的運用，聯(lián)立方程，利用韋達定理是關鍵．