Question

已知函數(shù)f（x）=x+

a

x

．
（Ⅰ）判斷f（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）若a＞0，證明：函數(shù)f（x）在[

a

，+∞）內(nèi)是增函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)奇偶的定義即可判斷f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明：函數(shù)f（x）在[

a

，+∞）內(nèi)是增函數(shù)．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}，則f（-x）=-x-

a

x

=-（x+

a

x

）=-f（x）．
故函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（Ⅱ）設(shè)x₂＞x₁＞

a

，則f（x₂）-f（x₁）=x₂+

a

x2

-x₁-

a

x1

=（x₂-x₁）•

x1x2-a

x1x2

∵x₂＞x₁＞

a

，∴x₂-x₁＞0，x₂x₁＞a，
∴x₂x₁-a＞0，
則f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
即函數(shù)f（x）在[

a

，+∞）內(nèi)是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和證明，根據(jù)相應(yīng)的定義是解決本題的關(guān)鍵．