Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}+6{x}^{2}+9x+3，x≤0}\\{alnx，x＞0}\end{array}\right.$在[-2，2]上的最小值為-1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-$\frac{1}{ln2}$，0]．

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)判斷f（x）在[-2，0]上的單調(diào)性，求出f（x）在[-2，0]上的最小值，得出f（x）在（0，2]的最小值的范圍，討論a的符號(hào)得出f（x）在（0，2]上的單調(diào)性，根據(jù)最小值的范圍列不等式求出a的范圍．

解答 解：x≤0時(shí)，f′（x）=3x²+12x+9，
令f′（x）=0得x=-1或x=-3．
∴當(dāng)-2＜x＜-1時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在[-2，-1]上單調(diào)遞減，在（-1，0]上單調(diào)遞增，
∴f（x）在[-2，0]上的最小值為f（-1）=-1．
∵f（x）在[-2，2]上的最小值為-1，
∴f（x）在（0，2]上的最小值大于或等于-1．
若a=0，則f（x）=0在（0，2]上恒成立，符合題意；
若a＞0，則f（x）=alnx在（0，2]上單調(diào)遞增，且x→0時(shí)，f（x）→-∞，不符合題意；
若a＜0，則f（x）=alnx（0，2]上單調(diào)遞減，f（x）的最小值為f（2）=aln2≥-1，
解得：-$\frac{1}{ln2}$≤a＜0，
綜上，-$\frac{1}{ln2}$≤a≤0．
故答案為：[-$\frac{1}{ln2}$，0]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)單調(diào)性判斷與最值計(jì)算，屬于中檔題．