Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)積為,即.

(1)若數(shù)列為首項(xiàng)為2016,公比為的等比數(shù)列,

①求的表達(dá)式;②當(dāng)為何值時(shí), 取得最大值;

(2)當(dāng)時(shí),數(shù)列都有且成立,

求證: 為等比數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1）①；②12；（2）見(jiàn)解析．

【解析】試題分析：

(1)①由題意知,則，化簡(jiǎn)可得結(jié)論；②記,,即,,作商，計(jì)算出的最大值，再由n是奇數(shù)時(shí)， 負(fù)數(shù)，n是偶數(shù)時(shí)， 是正數(shù)，即可得出結(jié)論；

(2) 當(dāng)時(shí), 易得；由得，當(dāng)時(shí), ，兩式相除，化簡(jiǎn)可得，可得，這兩式相除，則易得結(jié)論.

試題解析：

(1)①由題意知,

所以

②記,,即,,

,當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ,

又因?yàn)?/span>,所以,當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ,所以的最大值為

此時(shí),而,所以.

而,

所以,當(dāng)時(shí), 取得最大值

(2)當(dāng)時(shí), ,所以,即,

已知①

當(dāng)時(shí),

①②兩式相除得,化簡(jiǎn)得,③

又因?yàn)?/span>,④

③兩式相除得,⑤

⑤式可化為: ,

令,所以,所以,

即,都成立,

所以為等比數(shù)列．