15．正三棱錐P-ABC的側(cè)面是底邊長為a，頂角為30°的等腰三角形．過點A作這個三棱錐的截面AEF，點E、F分別在棱PB、PC上．
（1）如圖，作出平面AEF與平面ABC的交線；
（2）△AEF周長的最小值是否存在？若存在，求出其最小值，并指出此時直線BC與平面AEF的位置關(guān)系；若不存在，請說明理由．

分析 （1）延長FE，CB，設FE∩BC=D，則AD即為所求直線；
（2）作出三棱錐的側(cè)面展開圖，則AA′為最短距離，利用余弦定理求出PA，則AA′=$\sqrt{2}PA$．

解答 解：（1）延長FE，CB，設FE∩BC=D
連結(jié)AD，則直線AD為平面AEF與平面ABC的交線．
（2）作三棱錐P-ABC的側(cè)面展開圖，
連結(jié)AA′，則△AEF的周長最小值為AA′．

由題意可知PA=PB，AB=a，∠APB=30°，
由余弦定理得：cos30°=$\frac{2P{A}^{2}-{a}^{2}}{2P{A}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得PA=$\sqrt{2+\sqrt{3}}$a．
∴AA′=$\sqrt{2}PA$=$\sqrt{4+2\sqrt{3}}$a=（$\sqrt{3}+1$）a．
此時，EF∥BC，故BC∥平面AEF．

點評 本題考查了空間直線與平面的位置關(guān)系，多面體表面的最短距離問題，屬于中檔題．

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

5．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{{9{{sin}^2}x}}+\frac{4}{{9{{cos}^2}x}}，x∈（{0，\frac{π}{2}}）$，且f（x）≥t恒成立．
（1）求實數(shù)t的最大值；
（2）當t取最大值時，求不等式|x+t|+|x-2|≥5的解集．

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6．已知雙曲線$M：\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$與拋物線$y=\frac{1}{8}{x^2}$有公共焦點F，F(xiàn)到M的一條漸近線的距離為$\sqrt{3}$，則雙曲線方程為（　�。�
A．$\frac{x^2}{7}-\frac{y^2}{3}=1$B．$\frac{y^2}{3}-\frac{x^3}{7}=1$C．$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$D．${y^2}-\frac{x^2}{3}=1$

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3．下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，2）上遞增的是（　�。�
A．y=log0.5（x+1）B．$y={log_2}\sqrt{{x^2}-1}$
C．$y={log_2}\frac{1}{x}$D．$y={log_{\frac{1}{2}}}（5-4x+{x^2}）$

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

10．如圖所示的幾何體中，EA⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，AC=BC=BD=2AE=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}AB$，M是AB的中點．
（1）求證：CM⊥EM；
（2）求MC與平面EAC所成的角．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

20．已知球的半徑和圓柱體的底面半徑都為1且體積相同，則圓柱的高為（　　）
A．1B．$\frac{4}{3}$C．2D．4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

7．若MA垂直菱形ABCD所在的平面，那么MC與BD的位置關(guān)系是（　�。�
A．異面B．平行C．垂直相交D．相交但不垂直

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

4．如圖，△ABC中，$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{AE}$=m$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AF}$=n$\overrightarrow{AC}$，m＞0，n＞0，那么m+2n的最小值是3．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

5．數(shù)列{an}滿足a1=1，an=$\frac{n{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+2n-2}$（n≥2，n∈N*）．
（1）求a2，a3，a4的值；
（2）求數(shù)列{an}的通項公式；
（3）設bn=（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）an，求數(shù)列{bn}的前n項和．

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