2．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的對邊，若tanAtanB=tanAtanC+tanCtanB，則$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{c}^{2}}$=（　�。�
A．3B．2C．1D．$\frac{1}{2}$

分析 由已知得$\frac{cosA}{sinA}+\frac{cosB}{sinB}=\frac{cosC}{sinC}$，由此利用正弦定理和余弦定理能求出$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{c}^{2}}$的值．

解答 解：∵在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的對邊，若tanAtanB=tanAtanC+tanCtanB，
∴$\frac{1}{tanA}+\frac{1}{tanB}$=$\frac{1}{tanC}$，
∴$\frac{cosA}{sinA}+\frac{cosB}{sinB}=\frac{cosC}{sinC}$，
由正弦定理和余弦定理得：
$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2abc}$+$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2abc}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2abc}$，
∴$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{c}^{2}}$=3．
故選：A．

點評 本題考查代數(shù)式求值，是中檔題，解題時要認真審題，注意正弦定理和余弦定理的合理運用．

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