Question

如果直線y=kx+1與圓x²+y²+kx+my-4=0相交于M、N兩點(diǎn)，且點(diǎn)M、N關(guān)于直線x+y=0對稱，則不等式組

kx-y+1≥0 kx-my≤0 y≥0

所表示的平面區(qū)域的面積為

1

4

．

Answer 1

分析：由M與N關(guān)于x+y=0對稱得到直線y=kx+1與x+y=0垂直，利用兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1，得到k的值；設(shè)出M與N的坐標(biāo)，然后聯(lián)立y=x+1與圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到兩橫坐標(biāo)之和的關(guān)于m的關(guān)系式，再根據(jù)MN的中點(diǎn)在x+y=0上得到兩橫坐標(biāo)之和等于-1，列出關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值，把k的值和m的值代入不等式組，在數(shù)軸上畫出相應(yīng)的平面區(qū)域，求出面積即可．

解答：解：∵M(jìn)、N兩點(diǎn)，關(guān)于直線x+y=0對稱，
∴k=1，又圓心(-

k

2

，-

m

2

)在直線x+y=0上
∴-

k

2

-

m

2

=0
∴m=-1
∴原不等式組變?yōu)?span id="bxph1zw" class="MathJye">

x-y+1≥0 x+y≤0 y≥0

作出不等式組表示的平面區(qū)域，
△AOB為不等式所表示的平面區(qū)域，聯(lián)立

y=-x y=x+1

解得B（-

1

2

，

1

2

），A（-1，0），
所以S_△AOB=

1

2

×|-1|×|-

1

2

|=

1

4

．
故答案為：

1

4

．

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生掌握直線與圓的位置關(guān)系、二元一次不等式（組）與平面區(qū)域等基本知識，考查學(xué)生靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式化簡求值，會進(jìn)行簡單的線性規(guī)劃，是一道中檔題．