Question

7．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）與兩條平行直線l₁：y=x+b與l₂：y=x-b分別相交于四點A，B，D，C，且四邊形ABCD的面積為$\frac{{8{b^2}}}{3}$，則橢圓E的離心率為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 聯(lián)立直線與橢圓方程，求得A坐標，即求得邊AB，利用點到直線的距離公式求得邊AB上的高，即可表示面積，列式求解．

解答 解：如圖所示，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$⇒（a²+b²）x²+2ba²x=0，
可得點A的橫坐標為$\frac{-2b{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$．
∴AB=$\sqrt{2}$×$\frac{2b{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$．
又因為原點到AB的距離d=$\frac{\sqrt{2}}$
四邊形ABCD的面積為AB×2d=$\sqrt{2}$×$\frac{2b{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$×$\sqrt{2}b$=$\frac{8^{2}}{3}$
整理得：a²=2b²，橢圓E的離心率為e=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
故選：A

點評 本題考查了橢圓的離心率，涉及到了點到直線的距離公式，屬于中檔題．