【題目】在半徑為R的圓桌上擺放同樣大小的半徑為r的硬幣.要求硬幣不準(zhǔn)露出圓桌面邊緣，并且所擺硬幣彼此不能重疊.當(dāng)擺放n枚硬幣之后，圓桌上就不能再多擺放一枚這種硬幣了.求證：.

【答案】見解析

【解析】

由于n枚半徑為r的硬幣無(wú)重疊地?cái)[放在半徑為R的圓桌面內(nèi)，所以n個(gè)半徑為r的硬幣覆蓋的總面積小于半徑為R的圓面積，即有.所以.

現(xiàn)設(shè)想把n枚硬幣的半徑擴(kuò)大一倍成為半徑為2r的“加層硬幣”.則這n枚“加層硬幣”必完全覆蓋住半徑為（R - r）的圓面.如若不然的話，設(shè)在R - r為的圓面上至少有一點(diǎn)P沒(méi)被這n個(gè)半徑為2r的“加層硬幣”蓋住，則P點(diǎn)到諸半徑為r的硬幣之間的距離均大于r.所以以P為中心r為半徑的圓面可以與前面所放的n枚硬幣無(wú)重疊地放入半徑為R的圓桌面內(nèi).這與題設(shè)條件矛盾.

所以有.化簡(jiǎn)可得.綜合可得.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】十九大指出中國(guó)的電動(dòng)汽車革命早已展開，通過(guò)以新能源汽車替代汽/柴油車，中國(guó)正在大力實(shí)施一項(xiàng)將重塑全球汽車行業(yè)的計(jì)劃.年某企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過(guò)市場(chǎng)分析，全年需投入固定成本萬(wàn)元，每生產(chǎn)（百輛），需另投入成本萬(wàn)元，且.由市場(chǎng)調(diào)研知，每輛車售價(jià)萬(wàn)元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.

（1）求出2018年的利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；（利潤(rùn)=銷售額-成本）

（2）2018年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】執(zhí)行如圖的程序框圖，則輸出S的值為（ ）

A.
B.
C.
D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】甲、乙兩人做定點(diǎn)投籃游戲，已知甲每次投籃命中的概率均為，甲投籃3次均未命中的概率為，乙每次投籃命中的概率均為，乙投籃2次恰好命中1次的概率為，甲、乙每次投籃是否命中相互之間沒(méi)有影響.

（1）若乙投籃3次，求至少命中2次的概率；

（2）若甲、乙各投籃2次，設(shè)兩人命中的總次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知

（1）求函數(shù)的定義域;

（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并予以證明。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知四棱錐A-BCDE中,底面BCDE為直角梯形,CD⊥平面ABC,側(cè)面ABCD是等腰直角三角形,∠EBC=∠ABC=90°,BC=CD=2BE,點(diǎn)M是棱AD的中點(diǎn)

(1)求異面直線ME與AB所成角的大小;

(Ⅱ)證明:平面AED⊥平面ACD

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為 （φ為參數(shù)，0≤φ≤π），曲線C2的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)）．
（1）求C1的普通方程并指出它的軌跡；
（2）以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線OM：θ= 與半圓C的交點(diǎn)為O，P，與直線l的交點(diǎn)為Q，求線段PQ的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知直線a、b和平面，下列說(shuō)法中正確的有______ ．

若，則；

若，則；

若，則；

若直線，直線，則；

若直線a在平面外，則；

直線a平行于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則；

若直線，那么直線a就平行于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某地區(qū)業(yè)余足球運(yùn)動(dòng)員共有15000人，其中男運(yùn)動(dòng)員9000人，女運(yùn)動(dòng)員6000人，為調(diào)查該地區(qū)業(yè)余足球運(yùn)動(dòng)員每周平均踢足球占用時(shí)間的情況，采用分層抽樣的方法，收集300位業(yè)務(wù)足球運(yùn)動(dòng)員每周平均踢足球占用時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)（單位：小時(shí)）
得到業(yè)余足球運(yùn)動(dòng)員每周平均踢足球所占用時(shí)間的頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為：（0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．
將“業(yè)務(wù)運(yùn)動(dòng)員的每周平均踢足球時(shí)間所占用時(shí)間超過(guò)4小時(shí)”
定義為“熱愛足球”．
附：K2=

P（K2≥k0）

0.10

0.05

0.010

0.005

k0

2.706

3.841

6.635

7.879


（1）應(yīng)收集多少位女運(yùn)動(dòng)員樣本數(shù)據(jù)？
（2）估計(jì)該地區(qū)每周平均踢足球所占用時(shí)間超過(guò)4個(gè)小時(shí)的概率．
（3）在樣本數(shù)據(jù)中，有80位女運(yùn)動(dòng)員“熱愛足球”．請(qǐng)畫出“熱愛足球與性別”列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“熱愛足球與性別有關(guān)”．

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