Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（2）令，是否存在實數(shù)，當（是自然常數(shù)）時，函數(shù)的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

（3）當時，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在實數(shù)a=e2，使得當x∈（0，e]時g（x）有最小值3；（3）詳見解析．

【解析】

試題分析：（1）首先將問題轉(zhuǎn)化為在[1，2]上恒成立，然后將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的圖像及其性質(zhì)即可得出所求的結(jié)果；（2）首先假設存在實數(shù)a，使g（x）=ax﹣lnx（x∈（0，e]）有最小值3，并求出其導函數(shù)，然后對其進行分類討論：①當a≤0時；②當時；③當時，分別利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性并求出其最值即可得出所求的結(jié)果；（3）首先令F（x）=e2x﹣lnx，由（2）知，F(xiàn)（x）min，然后令，并求出其導函數(shù)，進而得出其最大值，最后得出不等式成立.

試題解析：（1）在[1，2]上恒成立，

令h（x）=2x2+ax﹣1，有得，得.

（2）假設存在實數(shù)a，使g（x）=ax﹣lnx（x∈（0，e]）有最小值3，

①當a≤0時，g（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，（舍去），

②當時，g（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

∴，a=e2，滿足條件．

③當時，g（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，（舍去），

綜上，存在實數(shù)a=e2，使得當x∈（0，e]時g（x）有最小值3．

（3）令F（x）=e2x﹣lnx，由（2）知，F(xiàn)（x）min=3．令，，

當0＜x≤e時，'（x）≥0，φ（x）在（0，e]上單調(diào)遞增∴

∴，即．