Question

定義域為R的奇函數(shù)f（x ）的圖象關(guān)于直線．x=1對稱，當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=x，方程 f（x）=log₂₀₁₃x實數(shù)根的個數(shù)為
（ ）
A．1006
B．1007
C．2012
D．2014

Answer 1

【答案】分析：可根據(jù)定義在R上的奇函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱⇒f（x+4）=f（x），再利用0≤x≤1時，f（x）=x，數(shù)形結(jié)合，可求得方程f（x）=log₂₀₁₃x的所有實根的個數(shù)．
解答：解：∵函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，
∴f（2-x）=f（x），又y=f（x）為奇函數(shù)，
∴f（x+2）=f（-x）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即f（x）的周期為4，
又定義在R上的奇函數(shù)，故f（0）=0，
f（x）=log₂₀₁₃x實數(shù)根的個數(shù)，即y=f（x）和y=log₂₀₁₃x的交點個數(shù)，
同一坐標(biāo)系里作出y=f（x）和y=log₂₀₁₃x的圖象，
∵當(dāng)0＜x≤4時，圖象有1個交點，當(dāng)4＜x≤8時，圖象有2個交點，…；
根據(jù)周期性，y=f（x）和y=log₂₀₁₃x的圖象有1+502×2+1=1006個交點．
故選A．
點評：本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷及奇偶函數(shù)圖象的對稱性，關(guān)鍵在于判斷f（x）的周期為4，再結(jié)合“0＜x≤1時，f（x）=x”與奇函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，數(shù)形結(jié)合予以解決，屬于中檔題．