Question

4．已知圓C：（x+1）²+y²=8．
（1）設(shè)點(diǎn)Q（x，y）是圓C上一點(diǎn)，求x+y的取值范圍；
（2）在直線x+y-7=0上找一點(diǎn)P（m，n），使得過(guò)該點(diǎn)所作圓C的切線段最短．

Answer 1

分析 （1）設(shè)x+y=t，由直線x+y=t與已知圓有公共點(diǎn)和距離公式可得t的不等式，解不等式可得；
（2）可判直線與圓相離，由直線和圓的知識(shí)可得符合條件的直線，解方程組可得所求點(diǎn)．

解答 解：（1）設(shè)x+y=t，∵點(diǎn)Q（x，y）是圓C上一點(diǎn)，
∴直線x+y=t與已知圓有公共點(diǎn)，
∴$\frac{|-1+0-t|}{\sqrt{2}}$≤2$\sqrt{2}$，解得-5≤t≤3，
∴x+y的取值范圍為[-5，3]；
（2）∵圓心（-1，0）到直線x+y-7=0的距離d=$\frac{|-1+0-7|}{\sqrt{2}}$=4$\sqrt{2}$＞2$\sqrt{2}$=r，
∴直線與圓相離，由直線和圓的知識(shí)可得只有當(dāng)過(guò)圓心向直線x+y-7=0作垂線，
過(guò)其垂足作圓的切線所得切線段最短，此時(shí)垂足即為要求的點(diǎn)P，
由直線的垂直關(guān)系設(shè)過(guò)圓心的垂線為x-y+c=0，代入圓心坐標(biāo)可得c=1，
聯(lián)立x+y-7=0和x-y+1=0可解得交點(diǎn)為（3，4）即為所求．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓的位置關(guān)系，涉及點(diǎn)到直線的距離公式，屬中檔題．