Question

6．已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且a₅=$\frac{π}{2}$，若函數(shù)f（x）=sin2x+2cos²$\frac{x}{2}$，記y_n=f（a_n），則數(shù)列{y_n}的前9項(xiàng)和為（　�。�

• A． 0
• B． 9
• C． -9
• D． 1

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₅=$\frac{π}{2}$，由a₁+a₉=a₂+a₈=a₃+a₇=a₄+a₆=2a₅=π，可得f（x）=sin2x+2cos²$\frac{x}{2}$=sin2x+cosx+1，可得f（a₁）+f（a₉）=sin2a₁+cosa₁+1+sin2a₉+cosa₉+1=2，同理f（a₂）+f（a₈）=f（a₃）+f（a₇）=f（a₄）+f（a₆）=2．即可得出．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₅=$\frac{π}{2}$，
∴a₁+a₉=a₂+a₈=a₃+a₇=a₄+a₆=2a₅=π
∵f（x）=sin2x+2cos²$\frac{x}{2}$，
∴f（x）=sin2x+cosx+1，
∴f（a₁）+f（a₉）=sin2a₁+cosa₁+1+sin2a₉+cosa₉+1=2，
同理f（a₂）+f（a₈）=f（a₃）+f（a₇）=f（a₄）+f（a₆）=2．
∵f（a₅）=1，
∴數(shù)列{y_n}的前9項(xiàng)和為9．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．