Question

20．在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知點A的極坐標為（$\sqrt{2}，π$），直線L的極坐標方程為$ρcos（θ-\frac{π}{4}）=a$．
（Ⅰ）若點A在直線l上，求直線L的直角坐標方程；
（Ⅱ）圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y=2+sinα\end{array}\right.（α為參數(shù)）$，若直線L與圓C相交的弦長為$\sqrt{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由點A$（\sqrt{2}，π）$在直線$ρcos（θ-\frac{π}{4}）=a$上，得a=-1，從而$ρcosθ+ρsinθ=-\sqrt{2}$，由此能求出直線L的直角坐標方程．
（Ⅱ）由已知得圓C直角坐標方程為x²+（y-2）²=1，求出圓心和半經(jīng)，L的直角坐標方程為$x+y-\sqrt{2}a=0$，求出圓心C到直線L的距離，由此能求出a的值．

解答 解：（Ⅰ）∵點A的極坐標為（$\sqrt{2}，π$），直線L的極坐標方程為$ρcos（θ-\frac{π}{4}）=a$．
∵點A$（\sqrt{2}，π）$在直線$ρcos（θ-\frac{π}{4}）=a$上，
∴$\sqrt{2}cos（π-\frac{π}{4}）=a$，解得a=-1，
∴$ρcos（θ-\frac{π}{4}）$=$ρcosθcos\frac{π}{4}+ρsinθsin\frac{π}{4}$=-1，
∴$ρcosθ+ρsinθ=-\sqrt{2}$，
∴直線L的直角坐標方程為x+y=$\sqrt{2}$=0．…（4分）
（Ⅱ）∵圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y=2+sinα\end{array}\right.（α為參數(shù)）$，
∴由已知得圓C直角坐標方程為x²+（y-2）²=1，∴圓C的圓心為C（0，2），半經(jīng)r=1，
而L的直角坐標方程為$x+y-\sqrt{2}a=0$，
依題意圓心C到直線L的距離$d=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴$d=\frac{{|2-\sqrt{2}a|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
解得$a=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}，或a=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．（10分）

點評 本題考查參數(shù)方程、極坐標方程、普通方程的互化，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的性質和點到直線距離公式的合理運用．