Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面PDC．
（1）求證∠PDC=90°，并指出異面直線PA與CD所成角的大�。�
（2）在棱PD上是否存在一點E，使得PB∥平面EAC？如果存在，求出此時三棱錐E-PBC與四棱錐P-ABCD的體積比；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由PA⊥平面PDC，可得PA⊥CD，即異面直線PA與CD所成角為90°，進(jìn)而根據(jù)線在垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD，則CD⊥PD，得到∠PDC=90°，
（2）當(dāng)點E為棱PD的中點時，PB∥平面EAC，連接BD與AC相交于點O，連接EO，根據(jù)中位線定理可得PB∥EO，進(jìn)而由線面平行的判定定理得到PB∥平面EAC，進(jìn)而由V_E-PBC=

1

2

V_D-PBC，V_D-PBC=

1

2

V_P-ABCD，得到三棱錐E-PBC與四棱錐P-ABCD的體積比．

解答： 解：（1）∵PA⊥平面PDC，CD?平面PDC，
∴PA⊥CD，
即異面直線PA與CD所成角為90°…（2分），
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD⊥CD，
又PA∩AD=A，PA，AD?平面PAD，
∴CD⊥平面PAD …（4分）
又∵PD?平面PAD，
∴CD⊥PD，
∴∠PDC=90°…（6分）
（2）當(dāng)點E為棱PD的中點時，PB∥平面EAC…（6分）
下面證明并求體積比：
取棱PD的中點E，連接BD與AC相交于點O，連接EO．
∵四邊形ABCD為矩形，
∴O為BD的中點
又E為棱PD的中點，
∴PB∥EO．
∵PB?平面EAC，EO?平面EAC，
∴PB∥平面EAC…（8分）
當(dāng)E為棱PD的中點時，V_E-PBC=

1

2

V_D-PBC，
又V_D-PBC=

1

2

V_P-ABCD，
∴V_E-PBC=

1

4

V_P-ABCD
即三棱錐E-PBC與四棱錐P-ABCD的體積比為1：4…（13分）

點評：本題考查的知識點是棱錐的體積公式，異面直線的夾角，線面平行的判定定理與線面垂直的判定定理，難度中檔．