Question

過拋物線y²=4x的焦點作一條直線與拋物線相交于A、B兩點，它們的橫坐標(biāo)之和等于2，則這樣的直線（　�。�

• A、有且僅有一條
• B、有且僅有兩條
• C、有無窮多條
• D、不存在

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：過拋物線y²=4x的焦點作一條直線與拋物線相交于A、B兩點，先看直線AB斜率不存在時，求得橫坐標(biāo)之和等于2，符合題意；進(jìn)而設(shè)直線AB為y=k（x-1）與拋物線方程聯(lián)立消去y，進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理表示出A、B兩點的橫坐標(biāo)之和，方程無解，進(jìn)而得出結(jié)論．

解答： 解：過拋物線y²=4x的焦點作一條直線與拋物線相交于A、B兩點，
若直線AB的斜率不存在，則橫坐標(biāo)之和等于2，適合．
故設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB方程為y=k（x-1）
代入拋物線y²=4x得，k²x²-2（k²+2）x+k²=0
∵A、B兩點的橫坐標(biāo)之和等于2，
∴

2(k2+2)

k2

=2，
∴方程無解，
∴這樣的直線不存在．
故選A．

點評：本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．