Question

已知數(shù)列{a_n}，其前n項(xiàng)和S_n滿足S_n+1=2S_n+1，且a₁=1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵S_n+1=2S_n+1，
∴S_n+1+1=2（S_n+1），
∴數(shù)列{S_n+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列
∴S_n+1=2×2^n-1
∴S_n=2ⁿ-1
∴a_n=S_n-S_n-1=2^n-1（n≥2）
n=1時，a₁=1也滿足上式，
∴a_n=2^n-1；
（Ⅱ）數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n=1×2⁰+2×2¹+…+n×2^n-1，①
2T_n=1×2¹+2×2²+…+n×2ⁿ，②
①-②整理得T_n=（n-1）2ⁿ+1
分析：（Ⅰ）先求S_n，再借助項(xiàng)與和關(guān)系a_n=S_n-S_n-1，可確定數(shù)列的通項(xiàng)；
（2）利用錯位相減法，可求數(shù)列的和．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，考查項(xiàng)與和關(guān)系，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，正確運(yùn)用求和公式是關(guān)鍵．