Question

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，設(shè)S為△ABC的面積，且S=

3

4

（a²+b²-c²）．
（1）求角C的大��；
（2）當(dāng)cosA+cosB取得最大值時(shí)，判斷△ABC的形狀．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的形狀判斷,余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）利用余弦定理得a²+b²-c²=2abcosC，將S=

3

4

（a²+b²-c²）與S=

1

2

absinC，聯(lián)立即可求得tanC=

3

，而C∈（0，π），從而可得角C的大小；
（2）cosA+cosB=cosA+cos（

2π

3

-A），利用兩角差的余弦與兩角和的正弦可求得當(dāng)cosA+cosB取得最大值時(shí)，A的值，從而可判斷△ABC的形狀．

解答： 解：（1）在△ABC中，由余弦定理可得a²+b²-c²=2abcosC，
∴S=

3

4

（a²+b²-c²）=

3

4

×2abcosC=

3

2

abcosC；
又S=

1

2

absinC，
∴tanC=

3

，C∈（0，π），
∴C=

π

3

；
（2）cosA+cosB=cosA+cos（

2π

3

-A）=cosA+cos

2π

3

cosA+sin

2π

3

sinA=

1

2

cosA+

3

2

sinA=sin（A+

π

6

）≤1，
當(dāng)A=

π

3

時(shí)，cosA+cosB取得最大值1，
此時(shí)△ABC為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形形狀的判斷，著重考查余弦定理、正弦定理的綜合應(yīng)用，考查兩角和與差的正弦、余弦，屬于中檔題．