Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=BC=2，∠ABC=90°，點A₁在底面ABC的投影為B，且A₁B=2

3

．
（1）證明：平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C；
（2）設(shè)P為B₁C₁上一點，當PA=

29

時，求二面角A₁-AB-P的正弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由線面垂直得A₁B⊥BC，由直角性質(zhì)得AB⊥BC，從而得到BC⊥平面AA₁B₁B，由此能證明平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C．
（2）由B₁C₁⊥平面AA₁B₁B，得PB₁⊥平面AA₁B₁B，過點B₁作棱AB的垂線，垂足為O，連接OP，得∠POB₁即為二面角A₁-AB-P的平面角，由此能示出二面角A₁-AB-P的正弦值．

解答： （1）證明：∵A₁B⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴A₁B⊥BC，
在△ABC中，∠ABC=90°，∴AB⊥BC，
∴BC⊥平面AA₁B₁B，BC?平面BB₁C₁C，
∴平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C．
（2）解：由（1）知B₁C₁⊥平面AA₁B₁B，∴PB₁⊥平面AA₁B₁B，
過點B₁作棱AB的垂線，垂足為O，連接OP，
則∠POB₁即為二面角A₁-AB-P的平面角，
連接AB₁，在△ABB₁中，由余弦定理得AB1=2

7

，
∵PA=

29

，∴PB₁=1，∴OP=

13

，
∴sin∠POB₁=

13

13

．
∴二面角A₁-AB-P的正弦值為

13

13

．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．