Question

數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}（n∈N₊）由下列條件確定：
①a₁＜0，b₁＞0；
②當(dāng)k≥2時(shí)，a_k與b_k滿足如下條件：當(dāng)

ak-1+bk-1

2

≥0時(shí)，a_k=a_k-1，b_k=

ak-1+bk-1

2

；當(dāng)

ak-1+bk-1

2

＜0時(shí)，a_k=

ak-1+bk-1

2

，bk=bk-1．
解答下列問(wèn)題：
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_k-b_k}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{n（b_n-a_n）}的前n項(xiàng)和為S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出bk-ak=

1

2

(bk-1-ak-1)，b₁-a₁＞0，由此能證明數(shù)列{a_k-b_k}是等比數(shù)列．
（Ⅱ）由bn-an=(b1-a1)(

1

2

)n-1，得n(bn-an)=(b1-a1)•

n

2n-1

，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{n（b_n-a_n）}的前n項(xiàng)和．

解答： （Ⅰ）證明：當(dāng)

ak-1+bk-1

2

≥0時(shí)，
bk-ak=

ak-1+bk-1

2

-ak-1=

1

2

(bk-1-ak-1)
當(dāng)

ak-1+bk-1

2

＜0時(shí)，
bk-ak=bk-1-

ak-1+bk-1

2

=

1

2

(bk-1-ak-1)
所以不論哪種情況，都有bk-ak=

1

2

(bk-1-ak-1)，
又b₁-a₁＞0，
故數(shù)列{a_k-b_k}是等比數(shù)列
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，bn-an=(b1-a1)(

1

2

)n-1，
故n(bn-an)=(b1-a1)•

n

2n-1

，
所以Sn=(b1-a1)(1+

2

2

+

3

23

+…+

n-1

2n-2

+

n

2n-1

)，

1

2

Sn=(b1-a1)(

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

)，
兩式相減，得：

1

2

Sn=(b1-a1)(1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

)，
所以Sn=(b1-a1)[4(1-

1

2n

)-

2n

2n

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．