Question

已知函數(shù)f（x）=x²-alnx（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=2e時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在（1，+∞）內(nèi)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=2e時(shí)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在（1，+∞）內(nèi)有零點(diǎn)，判斷函數(shù)極值和0的關(guān)系，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=2e時(shí)，f（x）=x²-alnx=x²-2elnx，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
則f′（x）=2x-

2e

x

=

2(x+ e )(x- e )

x

，
由f′（x）=

2(x+ e )(x- e )

x

＞0，解得x＞

e

，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）=

2(x+ e )(x- e )

x

＞0，解得0＜x＜

e

，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
即函數(shù)的遞減區(qū)間為（0，

e

），函數(shù)的遞增區(qū)間為（

e

，+∞）．
（Ⅱ）f′（x）=2x-

a

x

=

2x2-a

x

，x＞1，
①若a≤0，則f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，此時(shí)f（x）＞f（1）=0，不可能有零點(diǎn)．
②若a＞0，由f′（x）=0，解得x=

a 2

或x=-

a 2

（舍掉），
若

a 2

≤1，即0＜x≤2，此時(shí)f′（x）＞0，同①不合題意，舍去．
若a＞2，列x，f（x），f′（x）的變化如下表：

x	（1， a 2 ）	a 2	（ a 2 ，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	遞減	極小值	遞增

因此，當(dāng)x=

a 2

時(shí)，f（x）有極小值，且極小值為f（

a 2

）=

a

2

-aln

a 2

．
若函數(shù)f（x）在（1，+∞）內(nèi)有零點(diǎn)，
則的極小值f（x）≤0，
即

a

2

-aln

a 2

≤0，解得a≥2e，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算能力．