Question

8．如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，BD∩AC=O，現(xiàn)將其沿菱形對角線BD折起得空間四邊形EBCD，使EC=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求證：EO⊥CD．
（Ⅱ）求點O到平面EDC的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明：EO⊥平面BCD，即可證明EO⊥CD．
（Ⅱ）利用等體積方法，求點O到平面EDC的距離．

解答 （Ⅰ）證明：由題意，EO=OC=1，EC=$\sqrt{2}$，
∴EO²+OC²=EC²，∴EO⊥OC，
∵EO⊥BD，OC∩BD=O，
∴EO⊥平面BCD，
∵CD?平面BCD，
∴EO⊥CD．
（Ⅱ）解：△EDC中，ED=DC=2，EC=$\sqrt{2}$，S_△EDC=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{4-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{7}$，
設點O到平面EDC的距離為h，則由等體積可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×1=\frac{1}{3}×\sqrt{7}h$，
∴h=$\frac{\sqrt{21}}{14}$．

點評 本題考查線面垂直的判定與性質，考查等體積方法求點到平面的距離，屬于中檔題．