Question

8．已知圓O：x²+y²=r²與圓C：（x-2）²+y²=r²（r＞0）的一個公共點P，過P作與x軸平行的直線分別交兩圓于A，B兩點（不同于P點），且OA⊥OB，則r=2．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，畫出圖形，結(jié)合圖形得出點P的橫坐標，再根據(jù)題意列出方程組，解方程組求出半徑r的值．

解答 解：如圖所示，
圓O：x²+y²=r²與圓C：（x-2）²+y²=r²（r＞0）的一個公共點P，
∴點P的橫坐標為x=1；
又過點P作與x軸平行的直線分別交兩圓于A，B兩點，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}{=y}_{2}}\\{{x}_{1}{+x}_{2}=2}\end{array}\right.$；
又OA⊥OB，∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0，
且${{x}_{1}}^{2}$+${{y}_{1}}^{2}$=r²，${{（x}_{2}-2）}^{2}$+${{y}_{2}}^{2}$=r²；
由此解得r=2．
故答案為：2．

點評 本題考查了直線與圓的應用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合解題方法的問題，是綜合性題目．