已知函數(shù)f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),其中a∈R.

(1)當(dāng)a=0時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的斜率;

(2)當(dāng)a≠時(shí),求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.

 

(1)3e. (2)見解析

【解析】【解析】
(1)當(dāng)a=0時(shí),f(x)=x2ex,f′(x)=(x2+2x)ex,

故f′(1)=3e.

所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的斜率為3e.

(2)f′(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]ex.

令f′(x)=0,解得x=-2a,或x=a-2,

由a≠知,-2a≠a-2.

以下分兩種情況討論:

①若a>,則-2a<a-2,當(dāng)x變化時(shí),f′(x),f(x)的變化情況如下表:

x

(-∞,-2a)

-2a

(-2a,a-2)

a-2

(a-2,+∞)

f′(x)

0

0

f(x)

極大值

極小值

 

所以f(x)在(-∞,-2a),(a-2,+∞)上是增函數(shù),在(-2a,a-2)上是減函數(shù).

函數(shù)f(x)在x=-2a處取得極大值為f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a.

函數(shù)f(x)在x=a-2處取得極小值為f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2.

②若a<,則-2a>a-2,當(dāng)x變化時(shí),f′(x),f(x)的變化情況如下表:

x

(-∞,a-2)

a-2

(a-2,-2a)

-2a

(-2a,+∞)

f′(x)

0

0

f(x)

極大值

極小值

 

所以f(x)在(-∞,a-2),(-2a,+∞)上是增函數(shù),在(a-2,-2a)上是減函數(shù).

函數(shù)f(x)在x=a-2處取得極大值f(a-2),

且f(a-2)=(4-3a)ea-2.

函數(shù)f(x)在x=-2a處取得極小值f(-2a),

且f(-2a)=3ae-2a.

 

練習(xí)冊系列答案
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已知二次函數(shù)f(x)=x2-bx+c,f(0)=4,f(1+x)=f(1-x),則(  )

A.f(bx)≥f(cx) B.f(bx)≤f(cx)

C.f(bx)>f(cx) D.f(bx)<f(cx)

 

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(1)求f[g(2)]和g[f(2)]的值;

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A.有最小值 B.有最大值 C.是減函數(shù) D.是增函數(shù)

 

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已知函數(shù)f(x)=x3+x-16.

(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,-6)處的切線的方程;

(2)直線l為曲線y=f(x)的切線,且經(jīng)過原點(diǎn),求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo);

(3)如果曲線y=f(x)的某一切線與直線y=-x+3垂直,求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線的方程.

 

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A. B. C. D.

 

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