【題目】(14分)在四棱錐P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點(diǎn),PA=2AB=2.
(Ⅰ)求四棱錐P-ABCD的體積V;
(Ⅱ)若F為PC的中點(diǎn),求證PC⊥平面AEF;
(Ⅲ)求證CE∥平面PAB.
【答案】(Ⅰ)V=.
(Ⅱ)略
(Ⅲ)略
【解析】解:(Ⅰ)在Rt△ABC中,AB=1,
∠BAC=60°,∴BC=,AC=2.
在Rt△ACD中,AC=2,∠CAD=60°,
∴CD=2,AD=4.
∴SABCD=
.……………… 3分
則V=. ……………… 5分
(Ⅱ)∵PA=CA,F為PC的中點(diǎn),
∴AF⊥PC. ……………… 7分
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD.
∵AC⊥CD,PA∩AC=A,
∴CD⊥平面PAC.∴CD⊥PC.
∵E為PD中點(diǎn),F為PC中點(diǎn),
∴EF∥CD.則EF⊥PC. ……… 9分
∵AF∩EF=F,∴PC⊥平面AEF.…… 10分
(Ⅲ)證法一:
取AD中點(diǎn)M,連EM,CM.則EM∥PA.
∵EM 平面PAB,PA平面PAB,
∴EM∥平面PAB. ……… 12分
在Rt△ACD中,∠CAD=60°,AC=AM=2,
∴∠ACM=60°.而∠BAC=60°,∴MC∥AB.
∵MC 平面PAB,AB平面PAB,
∴MC∥平面PAB. ……… 14分
∵EM∩MC=M,
∴平面EMC∥平面PAB.
∵EC平面EMC,
∴EC∥平面PAB. ……… 15分
證法二:
延長DC、AB,設(shè)它們交于點(diǎn)N,連PN.
∵∠NAC=∠DAC=60°,
∴C為ND的中點(diǎn). ……12分
∵E為PD中點(diǎn),∴EC∥PN.……14分
∵EC 平面PAB,PN 平面PAB,
∴EC∥平面PAB. ……… 15分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】元旦晚會期間,高三二班的學(xué)生準(zhǔn)備了6 個參賽節(jié)目,其中有 2 個舞蹈節(jié)目,2 個小品節(jié)目,2個歌曲節(jié)目,要求歌曲節(jié)目一定排在首尾,另外2個舞蹈節(jié)目一定要排在一起,則這 6 個節(jié)目的不同編排種數(shù)為
A. 48 B. 36 C. 24 D. 12
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【題目】已知數(shù)據(jù)a1,a2,…,an的平均數(shù)為a,方差為s2,則數(shù)據(jù)2a1,2a2,…,2an的平均數(shù)和方差分別為( )
A. a,s2 B. 2a,s2
C. 2a,2s2 D. 2a,4s2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinA+ cosA=0,a=2 ,b=2.
(Ⅰ)求c;
(Ⅱ)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn),且AD⊥AC,求△ABD的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l1的參數(shù)方程為 ,(t為參數(shù)),直線l2的參數(shù)方程為 ,(m為參數(shù)).設(shè)l1與l2的交點(diǎn)為P,當(dāng)k變化時,P的軌跡為曲線C.
(Ⅰ)寫出C的普通方程;
(Ⅱ)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)l3:ρ(cosθ+sinθ)﹣ =0,M為l3與C的交點(diǎn),求M的極徑.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣2x+a(ex﹣1+e﹣x+1)有唯一零點(diǎn),則a=( 。
A.﹣
B.
C.
D.1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】等差數(shù)列{an}的公差d≠0滿足成等比數(shù)列,若=1,Sn是{}的前n項和,則的最小值為________.
【答案】4
【解析】
成等比數(shù)列,=1,可得:= ,即(1+2d)2=1+12d,d≠0,解得d.可得an,Sn.代入利用分離常數(shù)法化簡后,利用基本不等式求出式子的最小值.
∵成等比數(shù)列,a1=1,
∴= ,
∴(1+2d)2=1+12d,d≠0,
解得d=2.
∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1.
Sn=n+×2=n2.
∴==n+1+﹣2≥2﹣2=4,
當(dāng)且僅當(dāng)n+1=時取等號,此時n=2,且取到最小值4,
故答案為:4.
【點(diǎn)睛】
本題考查了等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式,等比中項的性質(zhì),基本不等式求最值,在利用基本不等式求最值時,要特別注意“拆、拼、湊”等技巧,使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用,否則會出現(xiàn)錯誤.
【題型】填空題
【結(jié)束】
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【題目】設(shè)是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,,
(1)求的通項公式;
(2)設(shè)是首項為1,公差為2的等差數(shù)列,求數(shù)列的前項和
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【題目】如圖,在△ABC中,∠C=60°,D是BC上一點(diǎn),AB=31,BD=20,AD=21.
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【題目】如圖,是東西方向的公路北側(cè)的邊緣線,某公司準(zhǔn)備在上的一點(diǎn)的正北方向的處建設(shè)一倉庫,設(shè),并在公路北側(cè)建造邊長為的正方形無頂中轉(zhuǎn)站(其中在上),現(xiàn)從倉庫向和中轉(zhuǎn)站分別修兩條道路,已知,且.
(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式,并求出定義域;
(2)如果中轉(zhuǎn)站四堵圍墻造價為10萬元,兩條道路造價為30萬元,問:取何值時,該公司建設(shè)中轉(zhuǎn)站圍墻和兩條道路總造價最低.
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