Question

19．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx （a，b為常數(shù)，且a≠0），滿足條件f（1+x）=f（1-x），且方程f（x）=x有等根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)k＞0，函數(shù)g（x）=kx+1，x∈[-2，1]，若對于任意x₁∈[-2，1]，總存在x₀∈[-2，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求k的取值范圍．
（3）是否存在實數(shù)m、n（m＜n），使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[3m，3n]，如果存在，求出m、n的值，如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知中f （1+x）=f （1-x），可得f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，結(jié)合方程f （x）=x有等根其△=0，我們可構(gòu)造關(guān)于a，b的方程組，解方程組求出a，b的值，即可得到f （x）的解析式；
（2）對于任意x₁∈[-2，1]，總存在x₀∈[-2，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，得到函數(shù)f（x）在[-2，1]上值域是g（x）在[-2，1]上值域A的子集，然后利用求函數(shù)值域之間的關(guān)系列出不等式，解此不等式組即可求得實數(shù)a的取值范圍即可．
（3）由（1）中函數(shù)的解析式，我們根據(jù)f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[3m，3n]，我們易判斷出函數(shù)在[m，n]的單調(diào)性，進(jìn)而構(gòu)造出滿足條件的方程，解方程即可得到答案．

解答 解：（1）∵f（x）滿足f（1+x）=f（1-x），∴f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱．
而二次函數(shù)f（x）的對稱軸為x=-$\frac{2a}$，∴-$\frac{2a}$=1．①
又f（x）=x有等根，即ax²+（b-1）x=0有等根，∴△=（b-1）²=0．②
由①，②得 b=1，a=-$\frac{1}{2}$．∴f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x．
（2）∵f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x，x∈[-2，1]，∴函數(shù)f（x）的值域為[-4，$\frac{1}{2}$]，
若對于任意x₁∈[-2，1]，總存在x₀∈[-2，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，
則函數(shù)f（x）在[-2，1]上值域是g（x）在[-2，1]上值域A的子集，
①若k=0，g（x）=1，不滿足條件．
②當(dāng)k＞0時，g（x）=kx+1在[-2，1]是增函數(shù)，g（x）∈[-2k+1，k+1]，
則[-4，$\frac{1}{2}$]⊆[-2k+1，k+1]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2k+1≤-4}\\{k+1≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴k≥$\frac{5}{2}$；
③k＜0，g（x）=kx+1在[-2，1]是減函數(shù)，g（x）∈[k+1，-2k+1]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+1≤-4}\\{-2k+1≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴k≤-5
綜上，實數(shù)a的取值范圍是k≥$\frac{5}{2}$或k≤-5．
（3）∵f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{2}$．
如果存在滿足要求的m，n，則必需3n≤$\frac{1}{2}$，∴n≤$\frac{1}{6}$．
從而m＜n≤$\frac{1}{6}$＜1，而x≤1，f（x）單調(diào)遞增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=-\frac{1}{2}{m}^{2}+m=3m}\\{f（n）=-\frac{1}{2}{n}^{2}+n=3n}\end{array}\right.$，
可解得m=-4，n=0滿足要求．
∴存在m=-4，n=0滿足要求．

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的性質(zhì)，其中（1）的關(guān)鍵是由已知條件構(gòu)造關(guān)于a，b的方程組，（2）的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）在[-2，1]上值域是g（x）在[-2，1]上值域A的子集；（3）的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的值域判斷出函數(shù)在[m，n]的單調(diào)性，進(jìn)而構(gòu)造出滿足條件的方程．