Question

8．已知正項數(shù)列{a_n}中，S_n是其前n項的和，S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$），求a₁，a₂，a₃的值，推測出{a_n}的通項公式，并證明．

Answer 1

分析 S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$），可得a₁=$\frac{1}{2}（{a}_{1}+\frac{1}{{a}_{1}}）$，a₁＞0，解得a₁=1．同理可得：a₂=$\sqrt{2}$-1，a₃=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，猜想a_n=$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$．利用數(shù)學(xué)歸納法給出證明即可．

解答 解：∵S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$），
∴a₁=$\frac{1}{2}（{a}_{1}+\frac{1}{{a}_{1}}）$，a₁＞0，解得a₁=1．
同理可得：a₂=$\sqrt{2}$-1，
a₃=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，
∴猜想a_n=$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$．
下面利用數(shù)學(xué)歸納法給出證明：
（1）當(dāng)n=1時，a₁=$\sqrt{1}-\sqrt{1-1}$=1，成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時，假設(shè)a_k=$\sqrt{k}-\sqrt{k-1}$．
則當(dāng)n=k+1時，S_k+1=$\frac{1}{2}（{a}_{k+1}+\frac{1}{{a}_{k+1}}）$=S_k+a_k+1，
∴$\frac{1}{{a}_{k+1}}$=a_k+1+${a}_{k}+\frac{1}{{a}_{k}}$，
化為${a}_{k+1}^{2}$+$2\sqrt{k}{a}_{k+1}$-1=0，a_k+1＞0．
解得a_k+1=$\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$．
可知：當(dāng)n=k+1時，假設(shè)成立．
綜上可得：?n∈N^*，a_n=$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$成立．

點評 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、數(shù)學(xué)歸納法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．